help ! help ! help !

[nafistiham]

এই অসমতাটা অনেকক্ষণ চেষ্টা করেও পারছি না। যদিও এটা কোন exercise না। তবুও, কিছু exercise এ এটাকে কাজে লাগিয়েছি । একটু হিন্ট দিন

$x^{3} + y^{3} + z^{3} + 3xyz \geq x^{2}(y+z) + y^{2}(x+z) + z^{2}(x+y)$

[*Mahi*]

Is this about ex 1.7.3 (new book)?
Then try these

1.If $a^2,b^2,c^2$ are sides of a triangle the so are $a,b,c$
2.$\cos A +\cos B +\cos C \leq \frac 3 2$

[sourav das]

Mahi র hint এ কাজ হয়ে যাবার কথা। তারপরও না হলে

Case: n=1 for schur's inequality

[nafistiham]

সর্বনাশ!! বইয়ে যে সরাসরি দেওয়া আছে খেয়াল ই করিনি।

এটা তো দেখি imo তেও আসছে। পুরানো বইয়ে সবকিছু নেই তো।

[Nadim Ul Abrar]

Let $a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}$

then we have to prove that $(\frac{x-y+z}{y})(\frac{x-z+y}{z})(\frac{y-x+z}{x}) \leq 1
$
or $(x-y+z)(x+y-z)(y+z-x) \leq xyz
$
after simplifying
we get that we have to prove that

if $x,y,z>0$ then ,
$x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y) \leq x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz $

eheheheheh modified version of IMO 2000-2

[nafistiham]

Exercise 1.118. (IMO, 1964) Let a, b, c be positive real numbers. Prove that

\[x^{2}(y+z)+y^{2}(x+z)+z^{2}(x+y) \leq x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\]

৩৬ বছর আগে সরাসরি আসছে।

[sourav das]

একটা সরাসরি প্রমান দিছি।
WLOG $a \geq b \geq c$
Now, just re-arrang it like bellow
$a(a-b)(a-c) +b(b-c)(b-a)+ c(c-a)(c-b) \geq 0$
Now,
$c(c-a)(c-b) \geq 0$
$(a-b)(a^2-ac -b^2+bc)=(a-b)((a+b)(a-b) - c(a-b))$
But $a+b\geq c$
So $(a+b)(a-b) - c(a-b) \geq 0$
$(a-b)((a+b)(a-b) - c(a-b)) \geq 0$
Our proof is done.
(Sorry, i proof it for a,b,c )

[Nadim Ul Abrar]

oh shourav da .. josss


$x^{3}-x^{2}z-x^{2}y+xyz=x(x-y)(x-z)$

$y^{3}-y^{2}x-y^{2}z+xyz=y(y-x)(y-z)$

$z^{3}-z^{2}x-z^{2}y+xyz=z(z-y)(z-x)
$

put n=1 in scaur's Inequality ...

$x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)
\geq0 $

so Its proved ...

That means IMO 2000-02 is solved too

[sm.joty]

কেন যে ৩৬ বছর আগে জন্মাইলাম না ?