BdMO Online Forum

Find all positive integer $n$ such that for some $1\leq i\leq j<n$, \[\gcd\left(\binom ni,\binom nj\right)=1\]
একটা আইডেন্টিটি দেখে এই সমস্যাটার কথা মনে পড়লো। তাই দিয়ে দিলাম। এটা বেশ সুন্দর একটা সমস্যা। দেখতে নিরীহ, এবং সুন্দর। কিন্তু ঠিক মত করতে না পারলে অনেক বিদঘুটে হিসাব করতে হবে, তাও হবে যে তার কোন গ্যারান্টি নাই।

Am I missing something?
Clearly $i \neq j$. So let $i<j$.
Now by some algebraic manipulation we get \[\frac{\binom nj}{\binom ni}=\frac{\binom{n-i}{n-j}}{\binom ji}\]
Since $LHS$ is irreducible, comparing denominators we have \[\binom ni|\binom ji \Rightarrow \binom ni \leq \binom ji\] which is a contradiction since $j<n$.

from tahmid ,so there are no $n$ except 1 that follows masum's equation.