Combinatorics Workshop: Exam 1 (12.12.13)
Posted: Thu Dec 12, 2013 8:03 am
1. How many positive divisors of $10^{99}$ are also multiples of $10^{50}$?
2. Let $S=\{a_1,a_2,…,a_{18}\}$ be a set of eighteen (not necessarily distinct) integers. Prove that there exist two elements in $S$ whose difference is divisible by $17$.
3. How many twelve letter codes can we make in which there are only two vowels and they are next to each other?
Example: aabcbcsdsdsd, bdfgeityrypl
4.Find the value of the constant term in the expansion of \[\left (x^2+\frac 1 {x^2}-2\right )^{10}\]
5. In Mr. Fat's math class, there are five boys and nine girls. At the end of the term, Mr. Fat wants to take a picture of the whole class. He wants all students to stand in a row, with boys standing in decreasing order according to their height (assuming that they have distinct heights) from left to right and girls standing in increasing order according to their height (assuming that they have distinct heights) from left to right. In how many ways can this be done? (The boys need not stand together, and the girls need not stand together.)
6. Find the number of ways to place $17$ distinct flags on $5$ distinct poles with at least one flag on each pole. (First try with small numbers instead of 17. Guess the answer and prove it!)
7. Let $S=\{a,b,c,d,e,f\}$. In how many ways can one select two subsets (not necessarily distinct) of $S$ so that their union is $S$?
Note: The order of selection does not matter. For example, $\{a,c,e\},\{b,c,d,f\}$ and $\{b,c,d,f\},\{a,c,e\}$ are counted as same selection.
8. Determine the number of ways to chose five numbers from first eighteen positive integers such that any two chosen number differ by at least $2$.
9. Thirteen distinct balls are distributed into one green box, two red boxes and three blue boxes. If no box is empty, how many ways can it be done?
১. আমার একটু পরে পরীক্ষা, বিকালে প্রাইভেট। তাই হয়তো সলু পাঠানোর সাথে সাথে রিপ্লাই দেওয়া সম্ভব হবে না, দেরি হবে, এমনকি রাতও হতে পারে।
২. পরীক্ষার সময় ১০ ঘণ্টা।
৩. পরীক্ষার সময় কোন বই/নোটের সাহায্য নেওয়া যাবে না। প্রবলেমগুলো পরিচিত উৎস থেকে নেওয়া। একটু খোঁজাখুঁজি করলে পেয়ে যাওয়াও অসম্ভব কিছু না। সকলের সততা একান্তভাবে কাম্য।
৪. কোন প্রবলেম বুঝতে সমস্যা হলে এখানেই জানাও, যারা বুঝেছে তারা ব্যাখ্যা করবে।
৫. উত্তর বিশাল বড় হলে সংখ্যায় বের করার দরকার নাই। $T(15,9)/6$, $67!$-এ ধরণের উত্তর গ্রহণযোগ্য।
৬. আমি খুব দ্রুত টাইপ করেছি। তাই ভুল থাকতে পারে। কোন প্রবলেমে ভুল পাওয়া গেলে এখানে জানাও এবং যা ধরলে সেটা ঠিক হবে মনে হয় সেটা ধরে কর।
2. Let $S=\{a_1,a_2,…,a_{18}\}$ be a set of eighteen (not necessarily distinct) integers. Prove that there exist two elements in $S$ whose difference is divisible by $17$.
3. How many twelve letter codes can we make in which there are only two vowels and they are next to each other?
Example: aabcbcsdsdsd, bdfgeityrypl
4.Find the value of the constant term in the expansion of \[\left (x^2+\frac 1 {x^2}-2\right )^{10}\]
5. In Mr. Fat's math class, there are five boys and nine girls. At the end of the term, Mr. Fat wants to take a picture of the whole class. He wants all students to stand in a row, with boys standing in decreasing order according to their height (assuming that they have distinct heights) from left to right and girls standing in increasing order according to their height (assuming that they have distinct heights) from left to right. In how many ways can this be done? (The boys need not stand together, and the girls need not stand together.)
6. Find the number of ways to place $17$ distinct flags on $5$ distinct poles with at least one flag on each pole. (First try with small numbers instead of 17. Guess the answer and prove it!)
7. Let $S=\{a,b,c,d,e,f\}$. In how many ways can one select two subsets (not necessarily distinct) of $S$ so that their union is $S$?
Note: The order of selection does not matter. For example, $\{a,c,e\},\{b,c,d,f\}$ and $\{b,c,d,f\},\{a,c,e\}$ are counted as same selection.
8. Determine the number of ways to chose five numbers from first eighteen positive integers such that any two chosen number differ by at least $2$.
9. Thirteen distinct balls are distributed into one green box, two red boxes and three blue boxes. If no box is empty, how many ways can it be done?
১. আমার একটু পরে পরীক্ষা, বিকালে প্রাইভেট। তাই হয়তো সলু পাঠানোর সাথে সাথে রিপ্লাই দেওয়া সম্ভব হবে না, দেরি হবে, এমনকি রাতও হতে পারে।
২. পরীক্ষার সময় ১০ ঘণ্টা।
৩. পরীক্ষার সময় কোন বই/নোটের সাহায্য নেওয়া যাবে না। প্রবলেমগুলো পরিচিত উৎস থেকে নেওয়া। একটু খোঁজাখুঁজি করলে পেয়ে যাওয়াও অসম্ভব কিছু না। সকলের সততা একান্তভাবে কাম্য।
৪. কোন প্রবলেম বুঝতে সমস্যা হলে এখানেই জানাও, যারা বুঝেছে তারা ব্যাখ্যা করবে।
৫. উত্তর বিশাল বড় হলে সংখ্যায় বের করার দরকার নাই। $T(15,9)/6$, $67!$-এ ধরণের উত্তর গ্রহণযোগ্য।
৬. আমি খুব দ্রুত টাইপ করেছি। তাই ভুল থাকতে পারে। কোন প্রবলেমে ভুল পাওয়া গেলে এখানে জানাও এবং যা ধরলে সেটা ঠিক হবে মনে হয় সেটা ধরে কর।
