বছর ঘুরে আবার শুরু হতে যাচ্ছে জাতীয় গণিত অলিমিপয়াড ২০১৩। আজ গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি হিসেবে বিভিন্ন সমস্যা এবং সেগুলো সমাধানের কৌশল নিয়ে আলোচনা করা হলো।
সমস্যা সমাধানের যত কৌশল
গণিত অলিম্পিয়াডের সমস্যা আর আমাদের বইয়ের অনুশীলনীর মধ্যে মূল পার্থক্য হলো, বইয়ের অনুশীলনী সমাধানের উপায়গুলো আমাদের আগে থেকেই জানা থাকে।
আর সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের সেই উপায়টা প্রয়োগ করতে হয়। তবে জাতীয় গণিত অলিম্পিয়াডের অধিকাংশ সমস্যাই একাধিক ধাপের। তাই সমস্যা সমাধানের শুরুতেই আমাদের কিছু পরিকল্পনা নিয়ে এগোতে হবে। একেকজনের ক্ষেত্রে সমস্যা সমাধানের ধাপগুলো একেক রকমের হতে পারে। তবে সাধারণভাবে সমস্যা সমাধানের জন্য চারটা ধাপ অনুসরণ করা যেতে পারে:
১. সমস্যাটি ঠিকমতো বুঝতে পারা: আমাদের প্রথমেই সমস্যাটি ভালো করে বুঝতে হবে। কারণ, সমস্যাটির মধ্যেই সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সব তথ্য আছে। তাই সমস্যাটি বারবার পড়তে হবে এবং সমস্যাটির সব অংশ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা নিতে হবে।
২. সমস্যাটি নিয়ে কাজ করা: সমস্যা পাওয়ার পর প্রথমেই যে জিনিসটি দেখতে হবে, তা হলো কোন পদ্ধতি বা সূত্র ব্যবহার করলে সমস্যাটি সমাধান করা যাবে বা কীভাবে এগোলে সমস্যাটি সমাধান হতে পারে, তা বের করা। তাই সমস্যার তথ্যগুলো বিভিন্ন মান ব্যবহার করে দেখা যেতে পারে। অনেক সময়, বিশেষত জ্যামিতির ক্ষেত্রে ভালো করে একটি চিত্র আঁকলে সমস্যা সমাধান করা সহজ হয়। তবে বলে রাখা ভালো, শুরুতে সহজে নাও বোঝা যেতে পারে কীভাবে কাজ করলে সমাধান হবে। তাই তোমার জানা সব কৌশল ব্যবহার করে দেখতে হবে কোন কৌশল কাজে লাগে।
৩. সঠিকভাবে পরিকল্পনা করা: সমস্যাটি সমাধানের উপায় বের করে সমাধানের জন্য সঠিকভাবে পরিকল্পনা করতে হবে এবং এভাবে ধাপে ধাপে সমস্যাটি সমাধান করতে হবে।
৪. সমাধান সঠিকভাবে লেখা এবং পরীক্ষা করা: সমস্যার সমাধান সঠিকভাবে লিখতে পারাও সমস্যা সমাধানের বড় অংশ। তাই সমাধানের পর সঠিকভাবে সমাধানটি উপস্থাপন করতে হবে এবং প্রাপ্ত ফলাফলটি সঠিক কি না পরীক্ষা করে দেখতে হবে।
গণিত অলিমিপয়াডের প্রস্তুতির জন্য নিয়মিত অনুশীলন এবং লেখাপড়ার বিকল্প নেই। প্রস্তুতির সবচেয়ে ভালো উপায় হলো বিগত বছরের সমস্যাগুলো সমাধানের চেষ্টা করা। তা হলে সমস্যার ধরন সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণা পাওয়া যাবে, যদিও বোর্ড পরীক্ষার মতো কমন পড়ার কোনো সম্ভাবনা নেই!
এবার বিভিন্ন ক্যাটাগরির প্রশ্ন সম্পর্কে কিছু আলোচনা এবং কিছু সমস্যার সমাধান। সঙ্গে সঙ্গে প্রস্তুতির জন্য সহায়ক বইয়ের
তালিকা
প্রাইমারি
প্রাইমারি বিভাগে যে বিষয়গুলো জানতে হবে তা হলো পাটিগণিত, সংখ্যাতত্ত্ব, বীজগণিত, জ্যামিতি। পাশাপাশি কিছু ধাঁধা-জাতীয় সমস্যা এবং ধারার সমস্যাও সমাধান করতে হয়। পাঠ্যবইয়ের পাশাপাশি (১), (২) নম্বর বই থেকে অনুশীলন করা যেতে পারে। এখানে জাতীয় গণিত অলিম্পিয়াডের কয়েকটি সমস্যার সমাধান দেখানো হলো:
সমস্যা: পরপর দুটি বিজোড় সংখ্যার গুণফল ১৪৩। সংখ্যা দুটি বের করো।
সমাধান: এ সমস্যাটি সমাধান করতে হলে আমাদের সংখ্যা নিয়ে একটু খেলতে হবে! যেহেতু দুটি সংখ্যার গুণফল, তাই আমরা সংখ্যাটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে দেখতে পারি; ১৪৩ = ১১×১৩। ইউরেকা! আমরা পরপর দুটি বিজোড় সংখ্যা পেয়ে গেছি। সংখ্যা দুটি হলো ১১ ও ১৩।
সমস্যা: আবুল, বদরুল ও জসিম একই সময়ে একটি বৃত্তাকার পথে দৌড়াতে শুরু করল। প্রতি মিনিটে বাবুল ১/৩ চক্কর, বদরুল ১/৫ চক্কর, জসিম ১/৬ চক্কর দৌড়াতে পারে। সর্বনিম্ন কত চক্কর দৌড়ালে ওরা সবাই একই সঙ্গে দৌড়ের শেষ সীমায় পৌঁছাবে?
সমাধান: এই সমস্যা দেখেই নিশ্চয় তোমাদের বইয়ের ঘণ্টার সমস্যার কথা মনে পড়ছে। এটাও অনেকটা এভাবেই সমাধান করতে হবে। লক্ষ করো, আমাদের এমন একটা সংখ্যা দরকার, যেটা ৩, ৫, ৬ দ্বারা বিভাজ্য। সেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হলো ৩০। (কেন? কারণ সংখ্যাগুলোর লসাগু ৩০) ফলে ৩০ মিনিটে বাবুল ১০, বদরুল ৬ এবং জসিম ৫ চক্কর দৌড়ানোর পর তারা একই সঙ্গে দৌড়ের শেষ সীমানায় পৌঁছাবে।
সমস্যা: প্রমাণ করো যে ২ থেকে বড় দুটি মৌলিক সংখ্যার পার্থক্য ২ ভিন্ন অন্য কোনো মৌলিক সংখ্যা হতে পারে না।
সমাধান: যেহেতু ২ থেকে বড় মৌলিক সংখ্যা, তাই তারা বিজোড়। আমরা জানি, দুটি বিজোড় সংখ্যার পার্থক্য সব সময় জোড় সংখ্যা হয়। তাই যদি দুটি মৌলিক সংখ্যার পার্থক্য মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে তা জোড় মৌলিক সংখ্যা হবে, অর্থাৎ ২ হবে।
জুনিয়র
এই বিভাগের জন্য পাঠ্যবইয়ের সমস্যার পাশাপাশি ধারা, বহুপদী, সমীকরণ গঠন, জ্যামিতি এবং সংখ্যাতত্ত্বের ওপর ভালো ধারণা থাকতে হবে। (১), (২), (৫) নম্বর বই থেকে অনুশীলন করা যেতে পারে।
সমস্যা: একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b, c। যদি a2+b2+c2 = ab+bc+ca হয়; তবে প্রমাণ করো যে ত্রিভুজটি সমবাহু।
সমাধান: ছোট একটা কৌশল ব্যবহার করলেই সমস্যাটি সমাধান হয়ে যাবে!
a2+b2+c2 = ab+bc+ca
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca = 0
(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2) = 0
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 = 0
আমরা জানি, কয়েকটি বাস্তব সংখ্যার বর্গের যোগফল 0 হলে, তাদের প্রতিটি আলাদাভাবে 0 হয়।
ফলে, (a-b)2 = (b-c)2 = (c-a)2 = 0। এখান থেকে সহজেই বলা যায় যে a = b = c। অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমবাহু।
সমস্যা: p, 33-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা। p2-কে 12 দ্বারা ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকবে?
সমাধান: আমরা এখানে ডিভিশন অ্যালগারিদম ব্যবহার করব। (ভয় পাওয়ার কিছু নেই, অনেক আগেই আমরা শিখেছি যে ভাজ্য = ভাজক ভাগফল + ভাগশেষ; এটাই ডিভিশন অ্যালগারিদম!) 12 দিয়ে যেকোনো সংখ্যাকে ভাগ করলে ভাগশেষ হতে পারে 12টি। (0, ..., 11) সুতরাং আমরা সংখ্যাটিকে লিখতে পারি,
p = 12k+0, p = 12k+1, p = 12k+3, p = 12k+4, ..., p = 12k+11. একটু খেয়াল করলেই বুঝতে পারবে যে 12k+1, 12k+5, 12k+7, 12k+11 বাদে অন্য কোনো সংখ্যা মৌলিক হতে পারে না। [কারণ, 12k-এর একাধিক উৎপাদক আছে, p = 12k+2 = 6 (6k+1)-এরও অন্তত দুটি উৎপাদক আছে, এভাবে বাকিগুলোও পরীক্ষা করে দেখা যায়।]
এখন, প্রাপ্ত মান চারটিকে বর্গ করে দেখলেই আমরা পাব যে 12 দিয়ে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ভাগশেষ থাকবে 1।
একটি করে দেখানো হলো: p2 = (12k+11)2 = 144k2+2.12.11k+121 = 12(12k2+22k+10)+1
সেকেন্ডারি ও হায়ার সেকেন্ডারি
এই দুই বিভাগের সমস্যাগুলো প্রায় একই ধরনের হয়। এখানে জ্যামিতি, সংখ্যাতত্ত্ব, বীজগণিত, কম্বিনেটরিক্স থেকে সমস্যা দেওয়া হয়। তবে হায়ার সেকেন্ডারিতে ক্যালকুলাস এবং অ্যানালাইসিস থেকে দু-একটি সমস্যাও থাকতে পারে। জ্যামিতির ক্ষেত্রে ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির প্রতি বেশি গুরুত্ব দিতে হবে। ৯ম-১০ শ্রেণীর জ্যামিতির পাশাপাশি (৭) এবং সংখ্যাতত্ত্বের জন্য (৬) নম্বর বই পড়া থাকলে ভালো হয়। পাশাপাশি (৩), (৪), (৫) নম্বর বই থেকে সমস্যা সমাধান করা যেতে পারে। এখানে জাতীয় গণিত অলিম্পিয়াডের কয়েকটি সমস্যার সমাধান দেখানো হলো:
সমস্যা: একটি মুদ্রার পিঠে ১, দুটি ভিন্ন মুদ্রার পিঠে ২, তিনটি ভিন্ন মুদ্রার পিঠে ৩, ... ... ... ..., ৪৯টি ভিন্ন মুদ্রার পিঠে ৪৯ এবং ৫০টি ভিন্ন মুদ্রার পিঠে ৫০ লেখা আছে। সব মুদ্রাকে একটি কালো ব্যাগে রেখে সেখান থেকে একটি একটি করে মুদ্রা নেওয়া হলো। কমপক্ষে কতটি মুদ্রা নিলে নিশ্চিত হওয়া যাবে যে যেকোনো এক প্রকারের অন্তত ১০টি মুদ্রা নেওয়া হয়েছে?
সমাধান: এটা অনেকটা সম্ভাব্যতার সমস্যার মতো মনে হলেও এটা সমাধান করতে হলে কিছুটা ভিন্নভাবে ভাবতে হবে। কারণ, আমাদের ভাগ্য এখানে খুব খারাপও হতে পারে! লক্ষ করি, আমাদের ভাগ্য যদি সবচেয়ে খারাপ হয়, তবে কী হতে পারে। যেহেতু এক থেকে নয় লেখা মুদ্রাগুলোর ১০টি মুদ্রাই নেই (সর্বোচ্চ নয়টি), ধরে নিই যে আমরা সেই মুদ্রাগুলোই প্রথমে তুলেছি। এবার আমরা মনে করি বাকি সব ধরনের মুদ্রা থেকে নয়টি করে মুদ্রা আমরা তুলেছি। সুতরাং (১+২+...+৯+৯+৯+...৯) = ৪৫+৯.৪১ = ৪১৪টি মুদ্রা তুলে ফেলার পরও আমাদের কোন ধরনের মুদ্রা ১০টি নেই। সুতরাং আরেকটি মুদ্রা যোগ করলে; অর্থাৎ, মোট ৪১৫টি মুদ্রা নিলেই যেকোনো এক প্রকারের ১০টি মুদ্রা আমরা পেয়ে যাব।
সমস্যা: ABCDE পঞ্চভুজে ত্রিভুজ ABC, BCD, CDE, DEA, EAB-এর ক্ষেত্রফল সমান। AC এবং AD সরলরেখা BE-কে যথাক্রমে M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে BM = EN
সমাধান: (শুরুতেই একটা ছবি আঁকি) BCD এবং CDE ত্রিভুজের একই ক্ষেত্রফল থেকে পাই CD||BE; একইভাবে BCD এবং ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হওয়ায় BC||AD, একইভাবে CDE, DEA ত্রিভুজ থেকে DE||CA। সুতরাং আমরা বলতে পারি যে BNDC এবং MCDE সামান্তরিক। ফলে BN = CD = ME এবং BM = EM.
সমস্যা: ধরা যাক, a একটি পূর্ণ সংখ্যা। আবার m = 4a+3 এবং m,11-এর গুণিতক। a4 কে ১১ দ্বারা ভাগ করা হলে কত অবশিষ্ট থাকবে?
সমাধান: mod 11 নিয়ে পাই,
4a+3 0mod11 4a -3 8mod11
a 2mod11 a4 16 5mod11
ফলে ভাগশেষ ৫।
সমস্যা: পূর্ণসংখ্যায় সমাধান করো: x2/2+5/y = 7
সমাধান: লক্ষ করো, x2+10/y =14, ফলে 10, y দ্বারা বিভাজ্য। ফলে এর মান হিসেবে ১০-এর উৎপাদক (1, 2, 5, 10, -1, -2, -5, -10) বসিয়ে পাই, y = 1, 2, -5-এর জন্য x-এর মান পূর্ণসংখ্যা হয়। ফলে সব সমাধান হলো (x, y) = (1, 2), (1, -2), (2, 3), (2, -3), (-5, 4), (-5, -4).
সমস্যা: xy+9(x+y) = 2006 সমীকরণের কতগুলো সমাধান আছে যেগুলো পূর্ণসংখ্যা?
সমাধান : xy+9(x+y) = 2006 xy+9x+9y+81 = (x+9)(y+9) = 2087
২০৮৭ একটি মৌলিক সংখ্যা ফলে (x+9) = 1, 2087 বা -1, -2087। সুতরাং, ধনাত্মক-ঋণাত্মক মিলিয়ে মোট 4টি সমাধান সম্ভব।
পরিশেষ
জাতীয় অলিম্পিয়াডে বিভিন্ন ক্যাটাগরির প্রস্তুতির জন্য কোনো নির্দিষ্ট সিলেবাস নেই। তবে সবার আগে পাঠ্যবইয়ের ওপর ভালো দখল থাকতে হবে। কারণ, অলিম্পিয়াডের প্রশ্ন এমনভাবে করা হয়, যাতে অধিকাংশ সমস্যার সমাধান পাঠ্যবইয়ে দেওয়া বিভিন্ন ধারণার ওপর ভিত্তি করেই করা যায়। তবে যেকোনো ধরনের সমস্যাই আসতে পারে। এ ক্ষেত্রে কিছু বেশি কৌশল জানা থাকলে তা অবশ্যই সমস্যা সমাধানের জন্য সহায়ক হবে। তবে, সেকেন্ডারি এবং হায়ার সেকেন্ডারি জন্য পাঠ্যবইয়ের জ্ঞান সব সময় যথেষ্ট নয়। কারণ, কম্বিনেটরিক্স বা সংখ্যাতত্ত্বের মতো বিষয়গুলো আমাদের স্কুল-কলেজে সেভাবে শেখানো হয় না। এসব বিষয়ে অসংখ্য ইংরেজি বই আছে। তাই ভালো করতে হলে এসব বই পড়ার অভ্যাস গড়ে তুলতে হবে।
সমস্যার সমাধান কেমন করে করতে হয়, তা শেখার একমাত্র উপায় প্রচুর সমস্যা সমাধান করা। তাই জাতীয় অলিম্পিয়াডে ভালো করতে হলে সারা বছর প্রস্তুতি নিতে হবে। তবে শেষ মুহূর্তের প্রস্তুতি হিসেবে বিগত বছরের সমস্যা সমাধানের পাশাপাশি তালিকার বইগুলো থেকে সমস্যা অনুশীলন এবং বিভিন্ন কলাকৌশল শেখা যেতে পারে। সবার জন্য শুভকামনা।
লেখক: শিক্ষার্থী
হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়।
কিছু দরকারি ওয়েবসাইট
www.matholympiad.org.bd
বাংলাদেশ গণিত অলিমিপয়াডের অফিসিয়াল ওয়েবসাইট। এখানে গণিত অলিম্পিয়াড সম্পর্কিত বিভিন্ন তথ্য এবং বিগত বছরের প্রশ্ন পাওয়া যাবে।
www.matholympiad.org.bd/forum
অনলাইনে গণিত অলিম্পিয়াড নিয়ে প্রস্তুতির জন্য সবচেয়ে ভালো জায়গা এটি। শত শত শিক্ষার্থী সারা বছর গণিত অলিম্পিয়াডের নানা সমস্যা নিয়ে আলোচনা করে এখানে। তা ছাড়া বিগত বছরের সমস্যার সমাধান এবং সে সম্পর্কিত আলোচনাও একটু খুঁজলেই পাওয়া যাবে এখানে।
www.kmcbd.org/Home/documents
এখানে গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতিবিষয়ক সহায়ক বিভিন্ন আর্টিকেল, প্রবলেম সেট এবং নোট পাওয়া যাবে।
বইয়ের তালিকা
১. গণিত এবং আরও গণিত
মুহম্মদ জাফর ইকবাল ও জাকারিয়া স্বপন
২. আমাদের গণিত উৎসব
মুনির হাসান
৩. The Art and Craft of Problem Solving
Paul Zeitz
৪. Problem Solving Strategies
Arthur Engel
৫. 500 Mathematical Challenges
৬. 104 Number Theory Problems
৭. Geometry Revisited
(বাংলা অনুবাদ: জ্যামিতির দ্বিতীয় পাঠ)