Problem 2:
Superman is taking part in a hurdle race with $12$ hurdles. At any stage he can jump across any number of hurdles lying ahead. For example, he can cross all $12$ hurdles in one jump or he can cross $7$ hurdles in the first jump, $1$ in the later and the rest in the third jump. In how many different ways can superman complete the race?
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 02
Posted: Sun Feb 12, 2012 11:19 pm
by sm.joty
আমার ২ টা সমাধান আছে কিন্তু যতদুর ধারনা ১ম টা রাইট। কিন্তু ২য় টা কেন ভুল সেটা জানা দরকার।
যে কোন ২ টি হার্ডলের মধ্যে নামবে না হয় নামবে না। কাজেই মোট ১১ টা গ্যাপের জন্য উপায় $২^{১১}$
কিন্তু সুপারম্যান এভাবেও যেতে পারে,
$(x_1,x_2,............x_{11}),x_{12}------- (1)$
$(x_1,x_2,............,x_{10})x_{11},x_{12}------- (2)$
$(x_1,x_2,............x_9),x_{10},x_{11},x_{12}------- (3)$
অর্থাৎ ১ম এ একবারে ১১ টা পার হবে তারপর ১ টা। ১ ভাবে।
২য় ক্ষেত্রে প্রথম ১০ টা একবারে তারপর বাকি ২ টা যাওয়া যায় ২ ভাবে।
৩য় ক্ষেত্রে প্রথম ৯ টা একবারে তারপর বাকি ৩ টা যাওয়া যায় ৩ ভাবে।
আর সব গুলো একবারে পার হওয়া যায় ১ ভাবে।
কাজেই,
$১+(১+২+৩+............+১১)$
$=৫৬$
ভুল হইল কই ????
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 02
Posted: Sun Feb 12, 2012 11:36 pm
by zadid xcalibured
11 gaps between 12 hurdles.so each way corresponds to a choice of this gaps.so the answer is 2^11
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 02
Posted: Mon Feb 13, 2012 12:12 am
by sm.joty
zadid xcalibured wrote:11 gaps between 12 hurdles.so each way corresponds to a choice of this gaps.so the answer is 2^11
My question is that, where is my mistake ???
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 02
Posted: Mon Feb 13, 2012 3:03 am
by zadid xcalibured
i see boxes in stead of ur solution.
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 02
Posted: Mon Feb 13, 2012 8:25 am
by Zzzz
sm.joty wrote:
....
অর্থাৎ ১ম এ একবারে ১১ টা পার হবে তারপর ১ টা। ১ ভাবে।
২য় ক্ষেত্রে প্রথম ১০ টা একবারে তারপর বাকি ২ টা যাওয়া যায় ২ ভাবে।
৩য় ক্ষেত্রে প্রথম ৯ টা একবারে তারপর বাকি ৩ টা যাওয়া যায় ৩ ভাবে।
....
লাল অংশটা এবং সাথে এর পরে যা যা ধরস (৪টা ৪ ভাবে, ৫টা ৫ ভাবে... ) এইগুলা ভুল হইসে।
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 02
Posted: Wed Feb 15, 2012 6:48 pm
by nafistiham
well,this one can be done like this,too,i think.
$11$ gaps.
so, the choices will be
\[\sum_{k=1}^{11}\binom{11}{k}=2^{11}\]
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 02
Posted: Thu Feb 16, 2012 6:01 pm
by Cryptic.shohag
Number of ways when he doesn't land is 1.
Number of ways when he lands once is 11C0.
Number of ways when he lands twice is 11C1.
Number of ways when he lands thrice is 11C2.
Thus for 4,5,.....,11 landings the number of ways would be 11C3, 11C4,......, 11C10 respectively.
So, in total the number of ways to complete the race is 1+11C0+11C1+........+11C10= 2048.
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 02
Posted: Thu Feb 16, 2012 11:02 pm
by Tahmid Hasan
there are $11$ spots between $12$ hurdles,you can either land or 'not land' on those hurdles;so we have $2$ possible choices for each spot.so the answer is $2^{11}$
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 02
Posted: Sat Feb 25, 2012 12:10 am
by turash
using bionomial coefficient it's ans 2 to the power 11
