BdMO National 2012: Higher Secondary 09, Secondary 10

[nafistiham]

here's my solution
it is trivial for $k=1$
let us assume that the statement holds for $k=n$,let us also assume that there is such a permutation that the 'blank' square lies on the edge.(ফাঁকা বর্গটা যেন কোণায় থাকে)
now for $k=n+1$,we take $4$ chessboards of $2^n*2^n$ such that after joining them they form a $2^{n+1}*2^{n+1}$ square for which $3$ blank squares are in the middle and the other is at the edge.
now we can cover the $3$ three blank squares with a trimino.
thus our assumption(the additional one too) holds for $k=n+1$
so by mathematical induction it holds for all natural $k$.

totally induction.did you not answer this ?

[Tahmid Hasan]

totally induction.did you not answer this ?

well,i did.but forgot to rotate the edge square

[turash]

প্রশ্নটা বাংলায় একভাবে আর ইংরেজিতে আরেকভাবে ছিল। আমি ফার্স্টে দেখলাম যে বর্গক্ষেত্র থেকে একটা বাদ দেয়ার পর ট্রিমিনো বানানো যাবে আবার দেখাইলাম যে ট্রিমিনো দিয়ে ঐ রকম ক্ষেত্র বানানো যাবে।

[Asif Hasan]

এমনে করা যায়? প্রতি সাইডে দুইটা করে থাকলে মোট বর্গ ৩টা। তাই $2^2-1$........same at $3\times 3-1$.......so $2^k \times 2^k -1$
$\Longrightarrow 2^{2k} - 1\Longrightarrow (2^k)^2 -1$ ........