BdMO 2014 : Higher Secondary 10

[Kiriti]

In a space, there are $N$ points. Prove that, any one can divide these $N$ points with $N-1$ planes where these $N-1$ planes are parallel to each other.

[Kiriti]

Hint :

বিন্দুগুলোকে একটি তলে প্রজেক্ট করো এবং একটা বিষয় খেয়াল করো, অসীম \(-\)সসীম \(=\) অসীম

এই সমস্যার সমাধান হলো,

আমরা প্রথমে প্রমাণ করব যে, যদি \(N\) টি বিন্দুকে কোন তলে প্রজেক্ট করা যায় যাতে ঐ তলে কোন একটি বিন্দুর উপর অন্য কোন বিন্দু না পড়ে তাহলে ঐ \(N\) টি বিন্দুকে \((N-1)\) টি পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা দিয়ে আলাদা করা যাবে ।

এখন মনে করি কোন একটি তলে ঐ \(N\) টি বিন্দুকে প্রজেক্ট করা সম্ভব । আমরা \(N\) টি বিন্দুকে পরস্পরের সাথে যুক্ত করি । এখানে \( {N \choose 2}\) টি সরলরেখা উৎপন্ন হবে । এখন এমন একটা সরলরেখা \(A\) নেই যা এই \({N \choose 2}\) টি সরলরেখার সাথে সমান্তরালে না যায় । এখন আমরা \(A\) এর সমান্তরালে \(N-1\) টি সরলরেখা দিয়ে ঐ \(N\) টি বিন্দুকে আলাদা করতে পারব ।

এখন আমরা প্রমাণ করব যে , যে কোন \(N\) টি বিন্দুর জন্য এমন একটি তল পাওয়া যাবে যাতে যদি ঐ \(N\) টি বিন্দুকে ঐ তলে প্রজেক্ট করা হয় তাহলে কোন একটি বিন্দু অন্য কোন বিন্দুর উপর পড়বে না ।

এখন, সসীম সংখ্যক বিন্দু আছে তাই এমন তলের সংখ্যাও সসীম হবে যেসব তলে ঐ \(N\) টি বিন্দুকে প্রজেক্ট করলে কোন বিন্দু অন্য কোন বিন্দুর উপর না পড়ে । কিন্তু একটি Space এ তলের সংখ্যা অসীম । তাই অসীম সংখ্যক তল পাওয়া যাবে যেগুলোতে যদি ঐ \(N\) টি বিন্দুকে প্রজেক্ট করা হয় তাহলে কোন বিন্দু অন্য কোন বিন্দুর উপর পড়বে না ।

তাহলে যে কোন \(N\) টি বিন্দুকে এমন একটি তলে প্রজেক্ট করতে হবে যাতে কোন একটি বিন্দু অন্য কোন বিন্দুর উপর না পড়ে । তারপর ঐ \(N\) টি বিন্দুকে \((N-1)\) টি পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা দিয়ে ভাগ করা হবে । সবশেষে ঐ সরলরেখার সাথে লম্বভাবে যে \((N-1)\) টি তল পাওয়া যাবে সেগুলিই ঐ \(N\) টি বিন্দুকে আলাদা করবে এবং ঐ \(N\) টি বিন্দুকে পুনরায় আবার আগের স্থানে নিতে হবে । তাহলেই \((N-1)\) টি পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা দ্বারা \(N\)টি বিন্দুকে আলাদা করা হবে ।

[Labib]

Hi Kiriti,
Could you post the problem in English? (Or perhaps, Edit the post and add the english statement right here! )
There is a forum rule that you have to post in English in the Olympiad section. (Rule)

[*Mahi*]

Hi Kiriti,
Could you post the problem in English? (Or perhaps, Edit the post and add the english statement right here! )
There is a forum rule that you have to post in English in the Olympiad section. (Rule)

Please, if you are quoting a rule, quote it right

Forum Language:
You can write in all the forums except Olympiad Level in either Bangla or English. In Olympiad Level forum you must use English, as it is supposed to be an international subforum.
However, writing in Banglish is not preferable, and it will create a poor impression on you.

"Olympiad Level" forum means this - http://www.matholympiad.org.bd/forum/viewforum.php?f=24 , which contains four subforums, olympiad level geometry, number theory, combinatorics, and algebra. Those forums are meant to be international, and thus English is compulsory there. This is "National Math Olympiad (BdMO)" subforum in "Olympiad & Other Programs" forum, so Bangla is perfectly fine here (which, I think, would be quite intuitive too).

So please, be sure of the rule you're clarifying, mass confusion can ultimately harm the user base of this forum.