BDMO National Secondary/Higher Secondary 2018/5

Discussion on Bangladesh Mathematical Olympiad (BdMO) National
User avatar
nahin munkar
Posts: 81
Joined: Mon Aug 17, 2015 6:51 pm
Location: banasree,dhaka

BDMO National Secondary/Higher Secondary 2018/5

Unread post by nahin munkar » Tue Jan 08, 2019 12:15 pm

Four circles are drawn with the sides of quadrilateral $ABCD$ as diameters. The two circles passing through $A$ meet again at $A′$ . The two circles passing through $B$ meet again at $B′$ . The two circles passing through $C$ meet again at $C′$. The two circles passing through D meet again at $D′$. Suppose, $ A′, B′, C′, D′ $ are all distinct. Is the quadrilateral $A′B′C′D′$ similar to $ABCD$ ? Show with proof.
# Mathematicians stand on each other's shoulders. ~ Carl Friedrich Gauss

User avatar
Tasnood
Posts: 73
Joined: Tue Jan 06, 2015 1:46 pm

Re: BDMO National Secondary/Higher Secondary 2018/5

Unread post by Tasnood » Thu Jan 10, 2019 10:06 am

Capture.PNG
Capture.PNG (32.49 KiB) Viewed 1795 times
$AB$ and $BC$ are diameter. So, $\angle AB'B=\angle BB'C=90$ So, $A,B',C$ are collinear.
Easily it can be proved: $D',B' \in AC, C'.A' \in BD$
From construction, $BC'B'C$ is cyclic quadrilateral. So, $\angle AB'C'=\angle C'BC$
On $\widehat {AA'}, \angle AB'A'=\angle ABA'$
$\angle A'B'C'=\angle A'B'D'+\angle D'B'C'=\angle AB'A'+\angle AB'C'=\angle ABA'+\angle C'BC=\angle ABC$
Similarly, we can prove the rest angles are also equal.
So, quadrilateral $A′B′C′D′$ similar to $ABCD$ :|

soyeb pervez jim
Posts: 21
Joined: Sat Jan 28, 2017 11:06 pm

Re: BDMO National Secondary/Higher Secondary 2018/5

Unread post by soyeb pervez jim » Sun Feb 24, 2019 10:56 pm

national p5.png
national p5.png (22 KiB) Viewed 1703 times
এই চিত্রে দেখা যাচ্ছে $DC$ ও $AB$ ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তগুলো একে অপরকে ছেদ করে। তবে তা সবসময়ই হবে তা না। আবার, $AD$ ও $CB$ ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তগুলো একে অপরকে ছেদ করতে পারে। এমনকি চারটি বৃত্তই একে অপকে ছেদ করতে পারে। তাই যাতে এই সবগুলোকে আলাদাভাবে প্রমাণ না করতে হয় তাই আমরা এখানে directed angle ব্যবহার করব। Directed angle শিখার জন্য Evan Chen এর নোটটা অনেক ভালো। কিন্তু শুধু এখনের জন্য আমদের কয়েকটা জিনিস জানলেই চলবে। প্রথমত directed angle এ আমরা $mod 180°$ তে কাজ করি এবং প্রায় বাকি সবকিছুই একই তবে কোণটা clockwise বা counterclockwise এর উপর ভিত্তি করে কোণের মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়। মানে যদি প্রথমে ধরা হয় clockwise হল ধনাত্মক তবে counterclockwise হবে ঋণাত্মক ($∡XYZ=-∡ZYX$)।
এখানে, $AD'A'D,CB'C'B$ হল বৃত্তীয়।
আবার, $∡DC'C=90°; ∡CC'B=90°⟹∡DC'C+∡CC'B=0⟹∡DC'C=∡BC'C$ অর্থাৎ $D,C'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। । অনুরূপভাবে $∡AA'D=∡AA'B$ অর্থাৎ $D,A'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। অর্থাৎ $D,A',C',B$ হল সমবিন্দুগামী। অনুরূপভাবে $A,D',B',C$ হল সমবিন্দুগামী।
এখানে, $∡C'A'D'=∡DA'D'=∡DAD'$ আবার $∡B'A'B=∡B'AB$;
$∡B'A'D'=∡B'A'C'+∡C'A'D'=∡B'AB+∡DAD'=∡DAB$
আবার, $∡A'D'B'=∡A'DA; ∡CD'C'=∡CDC'$;
$∡A'D'C'=∡B'D'C'+∡A'D'B'=∡CDC'+∡A'DA=∡CDA$
এভাবে, $∡D'C'B'=∡BCD; ∡C'B'A'=∡ABC$
অর্থাৎ $A'B'C'D'$ চতুর্ভুজটি $ABCD$ চতুর্ভুজের সদৃশ হবে $(oppositely similar)$।

যাদের directed angle বুঝতে কিছুটা সমস্যা হচ্ছে তাদের জন্য চিত্রের case এর প্রমাণটাই সাধারনভাবে প্রমাণ করা হলঃ
$∠DA'A+∠AA'B=90°+90°=180°⟹ D,A'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। একই ভাবে $D,C'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। অর্থাৎ $D,A',C',B$ হল সমবিন্দুগামী। অনুরূপভাবে $A,D',B',C$ হল সমবিন্দুগামী।
এখানে, $∠C'A'D=180-∠D'A'D=∠DAD'$ আবার $∠B'A'B=∠B'AB$ অর্থাৎ $∠B'A'D'=∠DAB$
আবার, $∠A'D'B'=180-∠A'D'A;∠C'D'C=∠C'DC$ অর্থাৎ $∠A'D'C'=∠CDA$
এভাবে, $∠D'C'B'=∠BCD; ∠C'B'A'=∠ABC$
অর্থাৎ $A'B'C'D'$ চতুর্ভুজটি $ABCD$ চতুর্ভুজের সদৃশ হবে।
Last edited by soyeb pervez jim on Mon Feb 25, 2019 12:05 am, edited 1 time in total.

User avatar
Tasnood
Posts: 73
Joined: Tue Jan 06, 2015 1:46 pm

Re: BDMO National Secondary/Higher Secondary 2018/5

Unread post by Tasnood » Sun Feb 24, 2019 11:17 pm

Bangla version of my solution! :lol:

User avatar
samiul_samin
Posts: 1007
Joined: Sat Dec 09, 2017 1:32 pm

Re: BDMO National Secondary/Higher Secondary 2018/5

Unread post by samiul_samin » Sun Feb 24, 2019 11:24 pm

soyeb pervez jim wrote:
Sun Feb 24, 2019 10:56 pm
national p5.pngএই চিত্রে দেখা যাচ্ছে $DC$ ও $AB$ ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তগুলো একে অপরকে ছেদ করে। তবে তা সবসময়ই হবে তা না। আবার, $AD$ ও $CB$ ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তগুলো একে অপরকে ছেদ করতে পারে। এমনকি চারটি বৃত্তই একে অপকে ছেদ করতে পারে। তাই যাতে এই সবগুলোকে আলাদাভাবে প্রমাণ না করতে হয় তাই আমরা এখানে directed angle ব্যবহার করব। Directed angle শিখার জন্য Evan Chen এর নোটটা অনেক ভালো। কিন্তু শুধু এখনের জন্য আমদের কয়েকটা জিনিস জানলেই চলবে। প্রথমত directed angle এ আমরা $mod 180°$ তে কাজ করি এবং প্রায় বাকি সবকিছুই একই তবে কোণটা clockwise বা counterclockwise এর উপর ভিত্তি করে কোণের মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়। মানে যদি প্রথমে ধরা হয় clockwise হল ধনাত্মক তবে counterclockwise হবে ঋণাত্মক ($∠XYZ=-∠ZYX$)।
এখানে, $AD'A'D,CB'C'B$ হল বৃত্তীয়।
আবার, $∡DC'C=90°; ∡CC'B=90°⟹∡DC'C+∡CC'B=0⟹∡DC'C=∡BC'C$ অর্থাৎ $D,C'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। । অনুরূপভাবে $∡AA'D=∡AA'B$ অর্থাৎ $D,A'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। অর্থাৎ $D,A',C',B$ হল সমবিন্দুগামী। অনুরূপভাবে $A,D',B',C$ হল সমবিন্দুগামী।
এখানে, $∡C'A'D'=∡DA'D'=∡DAD'$ আবার $∡B'A'B=∡B'AB$;
$∡B'A'D'=∡B'A'C'+∡C'A'D'=∡B'AB+∡DAD'=∡DAB$
আবার, $∡A'D'B'=∡A'DA; ∡CD'C'=∡CDC'$;
$∡A'D'C'=∡B'D'C'+∡A'D'B'=∡CDC'+∡A'DA=∡CDA$
এভাবে, $∡D'C'B'=∡BCD; ∡C'B'A'=∡ABC$
অর্থাৎ $A'B'C'D'$ চতুর্ভুজটি $ABCD$ চতুর্ভুজের সদৃশ হবে $(oppositely similar)$।

যাদের directed angle বুঝতে কিছুটা সমস্যা হচ্ছে তাদের জন্য চিত্রের case এর প্রমাণটাই সাধারনভাবে প্রমাণ করা হলঃ
$∠DA'A+∠AA'B=90°+90°=180°⟹ D,A'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। একই ভাবে $D,C'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। অর্থাৎ $D,A',C',B$ হল সমবিন্দুগামী। অনুরূপভাবে $A,D',B',C$ হল সমবিন্দুগামী।
এখানে, $∠C'A'D=180-∠D'A'D=∠DAD'$ আবার $∠B'A'B=∠B'AB$ অর্থাৎ $∠B'A'D'=∠DAB$
আবার, $∠A'D'B'=180-∠A'D'A;∠C'D'C=∠C'DC$ অর্থাৎ $∠A'D'C'=∠CDA$
এভাবে, $∠D'C'B'=∠BCD; ∠C'B'A'=∠ABC$
অর্থাৎ $A'B'C'D'$ চতুর্ভুজটি $ABCD$ চতুর্ভুজের সদৃশ হবে।
$Latex$ problem.

soyeb pervez jim
Posts: 21
Joined: Sat Jan 28, 2017 11:06 pm

Re: BDMO National Secondary/Higher Secondary 2018/5

Unread post by soyeb pervez jim » Sun Feb 24, 2019 11:52 pm

samiul_samin wrote:
Sun Feb 24, 2019 11:24 pm
soyeb pervez jim wrote:
Sun Feb 24, 2019 10:56 pm
national p5.pngএই চিত্রে দেখা যাচ্ছে $DC$ ও $AB$ ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তগুলো একে অপরকে ছেদ করে। তবে তা সবসময়ই হবে তা না। আবার, $AD$ ও $CB$ ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তগুলো একে অপরকে ছেদ করতে পারে। এমনকি চারটি বৃত্তই একে অপকে ছেদ করতে পারে। তাই যাতে এই সবগুলোকে আলাদাভাবে প্রমাণ না করতে হয় তাই আমরা এখানে directed angle ব্যবহার করব। Directed angle শিখার জন্য Evan Chen এর নোটটা অনেক ভালো। কিন্তু শুধু এখনের জন্য আমদের কয়েকটা জিনিস জানলেই চলবে। প্রথমত directed angle এ আমরা $mod 180°$ তে কাজ করি এবং প্রায় বাকি সবকিছুই একই তবে কোণটা clockwise বা counterclockwise এর উপর ভিত্তি করে কোণের মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়। মানে যদি প্রথমে ধরা হয় clockwise হল ধনাত্মক তবে counterclockwise হবে ঋণাত্মক ($∠XYZ=-∠ZYX$)।
এখানে, $AD'A'D,CB'C'B$ হল বৃত্তীয়।
আবার, $∡DC'C=90°; ∡CC'B=90°⟹∡DC'C+∡CC'B=0⟹∡DC'C=∡BC'C$ অর্থাৎ $D,C'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। । অনুরূপভাবে $∡AA'D=∡AA'B$ অর্থাৎ $D,A'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। অর্থাৎ $D,A',C',B$ হল সমবিন্দুগামী। অনুরূপভাবে $A,D',B',C$ হল সমবিন্দুগামী।
এখানে, $∡C'A'D'=∡DA'D'=∡DAD'$ আবার $∡B'A'B=∡B'AB$;
$∡B'A'D'=∡B'A'C'+∡C'A'D'=∡B'AB+∡DAD'=∡DAB$
আবার, $∡A'D'B'=∡A'DA; ∡CD'C'=∡CDC'$;
$∡A'D'C'=∡B'D'C'+∡A'D'B'=∡CDC'+∡A'DA=∡CDA$
এভাবে, $∡D'C'B'=∡BCD; ∡C'B'A'=∡ABC$
অর্থাৎ $A'B'C'D'$ চতুর্ভুজটি $ABCD$ চতুর্ভুজের সদৃশ হবে $(oppositely similar)$।

যাদের directed angle বুঝতে কিছুটা সমস্যা হচ্ছে তাদের জন্য চিত্রের case এর প্রমাণটাই সাধারনভাবে প্রমাণ করা হলঃ
$∠DA'A+∠AA'B=90°+90°=180°⟹ D,A'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। একই ভাবে $D,C'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। অর্থাৎ $D,A',C',B$ হল সমবিন্দুগামী। অনুরূপভাবে $A,D',B',C$ হল সমবিন্দুগামী।
এখানে, $∠C'A'D=180-∠D'A'D=∠DAD'$ আবার $∠B'A'B=∠B'AB$ অর্থাৎ $∠B'A'D'=∠DAB$
আবার, $∠A'D'B'=180-∠A'D'A;∠C'D'C=∠C'DC$ অর্থাৎ $∠A'D'C'=∠CDA$
এভাবে, $∠D'C'B'=∠BCD; ∠C'B'A'=∠ABC$
অর্থাৎ $A'B'C'D'$ চতুর্ভুজটি $ABCD$ চতুর্ভুজের সদৃশ হবে।
$Latex$ problem.
sorry but I know a little about $latex$

Post Reply