- national p5.png (22KiB)Viewed 4875 times
এই চিত্রে দেখা যাচ্ছে $DC$ ও $AB$ ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তগুলো একে অপরকে ছেদ করে। তবে তা সবসময়ই হবে তা না। আবার, $AD$ ও $CB$ ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তগুলো একে অপরকে ছেদ করতে পারে। এমনকি চারটি বৃত্তই একে অপকে ছেদ করতে পারে। তাই যাতে এই সবগুলোকে আলাদাভাবে প্রমাণ না করতে হয় তাই আমরা এখানে directed angle ব্যবহার করব। Directed angle শিখার জন্য Evan Chen এর
নোটটা অনেক ভালো। কিন্তু শুধু এখনের জন্য আমদের কয়েকটা জিনিস জানলেই চলবে। প্রথমত directed angle এ আমরা $mod 180°$ তে কাজ করি এবং প্রায় বাকি সবকিছুই একই তবে কোণটা clockwise বা counterclockwise এর উপর ভিত্তি করে কোণের মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়। মানে যদি প্রথমে ধরা হয় clockwise হল ধনাত্মক তবে counterclockwise হবে ঋণাত্মক ($∡XYZ=-∡ZYX$)।
এখানে, $AD'A'D,CB'C'B$ হল বৃত্তীয়।
আবার, $∡DC'C=90°; ∡CC'B=90°⟹∡DC'C+∡CC'B=0⟹∡DC'C=∡BC'C$ অর্থাৎ $D,C'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। । অনুরূপভাবে $∡AA'D=∡AA'B$ অর্থাৎ $D,A'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। অর্থাৎ $D,A',C',B$ হল সমবিন্দুগামী। অনুরূপভাবে $A,D',B',C$ হল সমবিন্দুগামী।
এখানে, $∡C'A'D'=∡DA'D'=∡DAD'$ আবার $∡B'A'B=∡B'AB$;
$∡B'A'D'=∡B'A'C'+∡C'A'D'=∡B'AB+∡DAD'=∡DAB$
আবার, $∡A'D'B'=∡A'DA; ∡CD'C'=∡CDC'$;
$∡A'D'C'=∡B'D'C'+∡A'D'B'=∡CDC'+∡A'DA=∡CDA$
এভাবে, $∡D'C'B'=∡BCD; ∡C'B'A'=∡ABC$
অর্থাৎ $A'B'C'D'$ চতুর্ভুজটি $ABCD$ চতুর্ভুজের সদৃশ হবে $(oppositely similar)$।
যাদের directed angle বুঝতে কিছুটা সমস্যা হচ্ছে তাদের জন্য চিত্রের case এর প্রমাণটাই সাধারনভাবে প্রমাণ করা হলঃ
$∠DA'A+∠AA'B=90°+90°=180°⟹ D,A'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। একই ভাবে $D,C'$ ও $B$ হল সমবিন্দুগামী। অর্থাৎ $D,A',C',B$ হল সমবিন্দুগামী। অনুরূপভাবে $A,D',B',C$ হল সমবিন্দুগামী।
এখানে, $∠C'A'D=180-∠D'A'D=∠DAD'$ আবার $∠B'A'B=∠B'AB$ অর্থাৎ $∠B'A'D'=∠DAB$
আবার, $∠A'D'B'=180-∠A'D'A;∠C'D'C=∠C'DC$ অর্থাৎ $∠A'D'C'=∠CDA$
এভাবে, $∠D'C'B'=∠BCD; ∠C'B'A'=∠ABC$
অর্থাৎ $A'B'C'D'$ চতুর্ভুজটি $ABCD$ চতুর্ভুজের সদৃশ হবে।
