BdMO Online Forum

ত্রিভুজ $ABC$ এ $AB = 12$, $BC = 20$, $CA= 16$. $AB$ এবং $AC$ বাহুর উপর দুইটি বিন্দু যথাক্রমে, $X$ ও $Y$ । $XY$ রেখাংশের উপর $K$ এমন একটি বিন্দু যেন, $XK/KY=7/5$ হয়। $AB$ ও $AC$ এর উপর যদি $X$ এবং $Y$-এর অবস্থানের পরিবর্তন করা হয়, তাহলে $K$ এর সঞ্চারপথ একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্র দখল করে। এই ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফলকে লঘিষ্ঠ করে $\frac{m}{n}$ আকারে লেখা যায়, তাহলে $m+n$ এর মান কত?

-----

In triangle $ABC$, $AB= 12$, $BC=20$, $CA=16$. $X$ and $Y$ are two points in segment $AB$ and $AC$ respectively. $K$ is a point in segment $XY$ , such that $XK/KY=7/5$. If we let $X$ and $Y$ vary in segment $AB$ and $AC$ , all the positions of $K$ covers a region. If we express the area of that region as $\frac{m}{n}$ in lowest terms, compute $m+n$.

First thing to notice that $AB^2+AC^2=BC^2$. So, $\angle BAC=90^{\circ}$. Let's take our coordinate system in this way,
$A\equiv (0,0)$, $B\equiv (12,0)$, $C\equiv (0,16)$, $X\equiv (x,0)$, $Y\equiv (0,y)$ where $x\in [0,12]$ and $y\in [0,16]$
$\therefore K\equiv \left(\frac{7\cdot 0+5\cdot x}{7+5}, \frac{7\cdot y+5\cdot 0}{7+5}\right)\equiv \left(\frac{5x}{12}, \frac{7y}{12}\right)$.
Now, $\frac{5x}{12}\in\left[0,5\right]$ and $\frac{7y}{12}\in\left[0,\frac{28}{3}\right]$.
So, $K$'s locus is a Rectangle whose area is $Area=5\times\frac{28}{3}=\frac{140}{3}$
So our answer is $140+3=143$