BdMO National Junior 2020 P7

[Mursalin]

তিহাম ছয় অঙ্কের একটি ধনাত্নক পূর্ণসংখ্যা \(PQRSTU\) বের করতে চাচ্ছে যেখনে (\(P, Q, R, S, T, U\) অঙ্ক ছয়টি অভিন্নও হতে পারে) যেখানে তিন অঙ্কের সংখ্যা \(PQR\) এবং অপর তিন অঙ্কের সংখ্যা \(STU\)-এর যোগফল \(37\) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। এরূপ কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা তিহাম বের করতে পারবে?

(মনে রেখো, একটি ছয় অঙ্কের সংখ্যার প্রথম অঙ্ক \(0\) হতে পারে না!)


Tiham is trying to find \(6\) digit positive integers \(PQRSTU\) (where \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\), \(T\), \(U\) are not necessarily distinct). But he only wants the numbers where the sum of the \(3\) digit number \(PQR\), and the \(3\) digit number \(STU\) is divisible by \(37\). How many such numbers can he find?

(Remember, a six-digit number can't have zero as the first digit!)

[Naeem588]

900*27 + 25

[abidahsaf]

Let $n$ be any three digit number formed by $PQR$. The lowest possible value for $STU$ is $100$ whereas the highest possible value is $999$. Thus thee lowest possible sum is $(n+100)$ whereas the highest possible sum is $(n + 999)$. Range of the sum is $$999 - 100 = 899$$. Since $$\frac{899}{37} =24$$ when rounded down to the nearest integer, a number $n$ can $$24$$ different sums. Since, there are $900$ possible three digit number, our answer is $900\cdot 24 = 21600$