BdMO National Junior 2020 P10
Posted: Thu Feb 04, 2021 12:38 am
সকাল দা সবচেয়ে বড় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(n\) বের করার চেষ্টা করছে, যেন \(n\)-কে base-\(7\)-এ নিয়ে গেলে তা দেখতে base-\(10\)-এ \(2n\)-এর মতো হয়। তিনি দেখলেন যে, এমন একটি সংখ্যা হলো \(156\), কারণ \(156\)-এর base-\(7\) হলো \(312\)। সকালদার বের করা সংখ্যাটি কত?
(একটা সংখ্যাকে base-\(10\)-এ লেখার মানে হচ্ছে সেটাকে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে লেখা। দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে, \(234 = 200 + 30 + 4 = 2\times 10^2 + 3\times 10 + 4\times 1\)। আবার যদি \(234\) base-\(7\)-এর একটা সংখ্যা হয়, তাহলে সেটাকে base-\(10\)-এ আনার জন্য আমাদের শুধু \(10\)-কে \(7\) দিয়ে পরিবর্তন করে দিলেই হবে। যেমন, base-\(7\)-এর \(234 = 2\times 7^2 + 3\times 7 + 4\times 1 =\) base-\(10\)-এ \(123\)।)
Sakal da is trying to find the largest positive integer \(n\), such that the base-\(7\) representation of \(n\) looks like a base-10 number which is exactly \(2n\). He noticed, one such number is \(156\), because \(156\) in base-\(7\) is \(312\). What is the number he came up with?
(Writing a number in base-\(10\) means writing it in the decimal system. So, \(234 = 200 + 30 + 4 = 2\times 10^2 + 3\times 10 + 3\times 1\). If we go to base-\(7\), we just change \(10\) to \(7\). So \(234\) in base-\(7\) would be \(2\times 7^2 + 3\times 7 + 4\times 1 = 123\) in base-\(10\).)
(একটা সংখ্যাকে base-\(10\)-এ লেখার মানে হচ্ছে সেটাকে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে লেখা। দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে, \(234 = 200 + 30 + 4 = 2\times 10^2 + 3\times 10 + 4\times 1\)। আবার যদি \(234\) base-\(7\)-এর একটা সংখ্যা হয়, তাহলে সেটাকে base-\(10\)-এ আনার জন্য আমাদের শুধু \(10\)-কে \(7\) দিয়ে পরিবর্তন করে দিলেই হবে। যেমন, base-\(7\)-এর \(234 = 2\times 7^2 + 3\times 7 + 4\times 1 =\) base-\(10\)-এ \(123\)।)
Sakal da is trying to find the largest positive integer \(n\), such that the base-\(7\) representation of \(n\) looks like a base-10 number which is exactly \(2n\). He noticed, one such number is \(156\), because \(156\) in base-\(7\) is \(312\). What is the number he came up with?
(Writing a number in base-\(10\) means writing it in the decimal system. So, \(234 = 200 + 30 + 4 = 2\times 10^2 + 3\times 10 + 3\times 1\). If we go to base-\(7\), we just change \(10\) to \(7\). So \(234\) in base-\(7\) would be \(2\times 7^2 + 3\times 7 + 4\times 1 = 123\) in base-\(10\).)