BdMO National Higher Secondary 2020 P4

[Mursalin]

একটা তলে \(56\)টা সরলরেখা এমনভাবে আছে যেন কোনো তিনটাই সমবিন্দু না হয়। যদি সরলরেখাগুলোর মধ্যে ছেদবিন্দুর সংখ্যা ঠিক \(594\) হয়, তাহলে এদের মধ্যে সর্বোচ্চ কতগুলো সরলরেখার ঢাল সমান হতে পারে?


\(56\) lines are drawn on a plane such that no three of them are concurrent. If the lines intersect at exactly \(594\) points, what is the maximum number of them that could have the same slope?

[Mehrab4226]

Let the maximum number be n+1
If no two of them are parallel then the number of intersections = $\binom{56}{2} = 1540$
If 2 of them are parallel to each other number of intersection $= 1540 - (1)$
If 3 ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, $= 1540-(1+2)$
If 4 ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, $= 1540 - (1+2+3)$
If n+1 ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, $= 1540 - (1+2+3+4 \cdots n)$
Now,
$1540-\frac{n(n+1)}{2} = 594$
Solving it we get $n =43$
Thus the required and is 44