BDMO Secondary National 2021 #6

Discussion on Bangladesh Mathematical Olympiad (BdMO) National
User avatar
Mehrab4226
Posts:230
Joined:Sat Jan 11, 2020 1:38 pm
Location:Dhaka, Bangladesh
BDMO Secondary National 2021 #6

Unread post by Mehrab4226 » Sat Apr 10, 2021 1:23 pm

সমুদ্রের কাছে একটা টেবিলের ওপর \(N\)-টা গ্লাসের বাক্স আছে যেখানে \(N<2021\)। বাক্সগুলোর প্রত্যেকটাতেই ঠিক \(2021\)-টা করে বল আছে। সৌধ আর রাফি একটা খেলা খেলছে যেখানে সৌধ প্রথম চাল দেয়। কোনো চালে একজন যেকোনো একটা বলসহ বাক্স বাছাই করে এবং তারপর বাক্সটা থেকে এক বা তার চেয়ে বেশি সংখ্যক বল বের করে সমুদ্রে ফেলে দেয়। কেউ চাইলে একটা বাক্স বাছাই করে তার সবগুলো বলই ফেলে দিতে পারে। এই খেলায় যে সবার শেষের বলটা ফেলতে পারে, সে জেতে। \(N\)-এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য সৌধর এই খেলায় একটা জেতার স্ট্র্যাটেজি আছে, তাদের যোগফল \(S\)। \(N\)-এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য রাফির এই খেলায় একটা জেতার স্ট্র্যাটেজি আছে, তাদের যোগফল \(R\)। \(\frac{R-S}{10}\)-এর মান কত?

On a table near the sea, there are $N$ glass boxes where $N<2021$, each containing exactly $2021$ balls. Sowdha and Rafi play a game by taking turns on the boxes where Sowdha takes the first turn. In each turn, a player selects a non-empty box and throws out some of the balls from it into the sea. If a player wants, he can throw out all of the balls in the selected box. The player who throws out the last ball wins. Let $S$ be the sum of values of $N$ for which Sowdha has a winning strategy, and let $R$ be the sum of values of $N$ for which Rafi has a winning strategy. What is the value of $\frac{R-S}{10}$?
The Mathematician does not study math because it is useful; he studies it because he delights in it, and he delights in it because it is beautiful.
-Henri Poincaré

User avatar
Pro_GRMR
Posts:46
Joined:Wed Feb 03, 2021 1:58 pm

Re: BDMO Secondary National 2021 #6

Unread post by Pro_GRMR » Sat Apr 10, 2021 8:01 pm

Mehrab4226 wrote:
Sat Apr 10, 2021 1:23 pm
On a table near the sea, there are $N$ glass boxes where $N<2021$, each containing exactly $2021$ balls. Sowdha and Rafi play a game by taking turns on the boxes where Sowdha takes the first turn. In each turn, a player selects a non-empty box and throws out some of the balls from it into the sea. If a player wants, he can throw out all of the balls in the selected box. The player who throws out the last ball wins. Let $S$ be the sum of values of $N$ for which Sowdha has a winning strategy, and let $R$ be the sum of values of $N$ for which Rafi has a winning strategy. What is the value of $\frac{R-S}{10}$?
Notice if $N$ is even Rafi can win if he copies Sowdha's move. (This is an important condition)
Again, If $N$ is odd Sowdha can throw out $1$ whole box and then just copy what Rafi does.
So, Rafi can always win if $N$ is even and Sowdha can always win if $N$ is odd.

And so, $R = 2 + 4 + \dots + 2018 + 2020$ and $S = 1 + 3 + \dots + 2017 + 2019$
$R - S = (2 - 1) + (4 - 3) + \dots + (2020 - 2019)$

Because there are 1010 terms in both $R$ and $S$,
$R - S = 1010$
$\Longrightarrow \frac{R-S}{10} = \boxed{101}$
"When you change the way you look at things, the things you look at change." - Max Planck

Post Reply