BdMO National 2021 Higher Secondary Problem 6

Discussion on Bangladesh Mathematical Olympiad (BdMO) National
User avatar
Anindya Biswas
Posts:263
Joined:Fri Oct 02, 2020 8:51 pm
Location:Magura, Bangladesh
Contact:
BdMO National 2021 Higher Secondary Problem 6

Unread post by Anindya Biswas » Sun Apr 11, 2021 9:40 pm

\(ABC\) হলো একটা সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। \(\angle BAC\)-এর বহির্দ্বিখণ্ডক \(BC\) রেখাকে \(N\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(BC\)-এর মধ্যবিন্দু হলো \(M\)। \(P\) আর \(Q\) হলো \(AN\) রেখার ওপর এমন দুটো বিন্দু যেন \(\angle PMN =\angle MQN=90^\circ\)। যদি \(PN=5\) আর \(BC=3\) হয়, তাহলে \(QA\)-এর দৈর্ঘ্যকে \(\frac{a}{b}\) আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে \(a\) আর \(b\) হলো পরস্পর সহমৌলিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। \((a+b)\)-এর মান কত?

Let $ABC$ be an acute-angled triangle. The external bisector of $\angle BAC$ meets the line $BC$ at point $N$. Let $M$ be the midpoint of $BC$. $P$ and $Q$ are two points on line $AN$ such that, $\angle PMN=\angle MQN=90^{\circ}$. If $PN=5$ and $BC=3$, then the length of $QA$ can be expressed as $\frac{a}{b}$, where $a$ and $b$ are coprime positive integers. What is the value of $(a+b)$?
"If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is."
John von Neumann

User avatar
Mahiir
Posts:9
Joined:Sun Dec 13, 2020 1:50 pm
Contact:

Re: BdMO National 2021 Higher Secondary Problem 6

Unread post by Mahiir » Fri Jul 02, 2021 5:21 pm

Anindya Biswas wrote:
Sun Apr 11, 2021 9:40 pm
\(ABC\) হলো একটা সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। \(\angle BAC\)-এর বহির্দ্বিখণ্ডক \(BC\) রেখাকে \(N\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(BC\)-এর মধ্যবিন্দু হলো \(M\)। \(P\) আর \(Q\) হলো \(AN\) রেখার ওপর এমন দুটো বিন্দু যেন \(\angle PMN =\angle MQN=90^\circ\)। যদি \(PN=5\) আর \(BC=3\) হয়, তাহলে \(QA\)-এর দৈর্ঘ্যকে \(\frac{a}{b}\) আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে \(a\) আর \(b\) হলো পরস্পর সহমৌলিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। \((a+b)\)-এর মান কত?

Let $ABC$ be an acute-angled triangle. The external bisector of $\angle BAC$ meets the line $BC$ at point $N$. Let $M$ be the midpoint of $BC$. $P$ and $Q$ are two points on line $AN$ such that, $\angle PMN=\angle MQN=90^{\circ}$. If $PN=5$ and $BC=3$, then the length of $QA$ can be expressed as $\frac{a}{b}$, where $a$ and $b$ are coprime positive integers. What is the value of $(a+b)$?
It is one of the most beautiful problems, I have ever encountered.
It's too much beautiful that I am just showing you it's inner look

Special property of Elipse ,Miquel Point ,Power of point & thier connection.
Special property of Elipse ,Miquel Point ,Power of point.jpg
Special property of Elipse ,Miquel Point ,Power of point.jpg (216.98KiB)Viewed 1313 times

Post Reply