BdMO National 2021 Higher Secondary Problem 10

Discussion on Bangladesh Mathematical Olympiad (BdMO) National
User avatar
Anindya Biswas
Posts:263
Joined:Fri Oct 02, 2020 8:51 pm
Location:Magura, Bangladesh
Contact:
BdMO National 2021 Higher Secondary Problem 10

Unread post by Anindya Biswas » Sun Apr 11, 2021 10:00 pm

\(A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8\) একটা সুষম অষ্টভুজ। \(P\) এই অষ্টভুজের মধ্যে এমন একটা বিন্দু যেন \(P\) বিন্দু থেকে \(A_1A_2\), \(A_2A_3\) আর \(A_3A_4\)-এর দূরত্ব যথাক্রমে \(24\), \(26\) আর \(27\)। \(A_1A_2\)-এর দৈর্ঘ্যকে \(a\sqrt{b}-c\) আকারে লেখা যায় যেখানে \(a\), \(b\) আর \(c\) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং \(b\), \(1\) বাদে অন্য কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য না। \((a+b+c)\)-এর মান কত?

$A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ is a regular octagon. Let $P$ be a point inside the octagon such that the distances from $P$ to $A_1A_2$, $A_2A_3$ and $A_3A_4$ are $24$, $26$ and $27$ respectively. The length of $A_1A_2$ can be written as $a\sqrt{b}-c$, where $a,b$ and $c$ are positive integers and $b$ is not divisible by any square number other than $1$. What is the value of $(a+b+c)$?
"If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is."
John von Neumann

User avatar
Mahiir
Posts:9
Joined:Sun Dec 13, 2020 1:50 pm
Contact:

Re: BdMO National 2021 Higher Secondary Problem 10

Unread post by Mahiir » Fri Jul 02, 2021 2:41 pm

Anindya Biswas wrote:
Sun Apr 11, 2021 10:00 pm
\(A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8\) একটা সুষম অষ্টভুজ। \(P\) এই অষ্টভুজের মধ্যে এমন একটা বিন্দু যেন \(P\) বিন্দু থেকে \(A_1A_2\), \(A_2A_3\) আর \(A_3A_4\)-এর দূরত্ব যথাক্রমে \(24\), \(26\) আর \(27\)। \(A_1A_2\)-এর দৈর্ঘ্যকে \(a\sqrt{b}-c\) আকারে লেখা যায় যেখানে \(a\), \(b\) আর \(c\) ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং \(b\), \(1\) বাদে অন্য কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য না। \((a+b+c)\)-এর মান কত?

$A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ is a regular octagon. Let $P$ be a point inside the octagon such that the distances from $P$ to $A_1A_2$, $A_2A_3$ and $A_3A_4$ are $24$, $26$ and $27$ respectively. The length of $A_1A_2$ can be written as $a\sqrt{b}-c$, where $a,b$ and $c$ are positive integers and $b$ is not divisible by any square number other than $1$. What is the value of $(a+b+c)$?
$Solution:$
IMG_20210702_0001 (1).jpg
IMG_20210702_0001 (1).jpg (173.65KiB)Viewed 1183 times
IMG_20210702_0002 (1).jpg
IMG_20210702_0002 (1).jpg (155.47KiB)Viewed 1183 times
[Diagram tells everything]
We have found the length of a side of the regular Octagon.


$A_1A_2=51\sqrt{2}-52$

Then
$a=51$
$b=2$
$c=52$

$\therefore {a}+{b}+{c}=51+2+52=105$ (answer)

Post Reply