BdMO National 2021 Junior Problem 1

Discussion on Bangladesh Mathematical Olympiad (BdMO) National
User avatar
Anindya Biswas
Posts:263
Joined:Fri Oct 02, 2020 8:51 pm
Location:Magura, Bangladesh
Contact:
BdMO National 2021 Junior Problem 1

Unread post by Anindya Biswas » Mon Apr 12, 2021 11:30 am

মিতা একটা সারিতে \(2024\)-টা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এমনভাবে লিখেছে যাতে পরপর যেকোনো চারটা সংখ্যার গুণফল \(2100\) হয়। সারির প্রথম সংখ্যাটা \(7\), \(1011\)-তম সংখ্যাটা \(5\), \(2014\)-তম সংখ্যাটা \(20\)। সারির সবার শেষের সংখ্যাটা কত?

Mita wrote $2024$ positive integers in a row such that the product of any four adjacent number is $2100$. The first number is $7$, the $1011$th number is $5$, the $2014$th number is $20$. What is the last number in the row?
"If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is."
John von Neumann

User avatar
Pro_GRMR
Posts:46
Joined:Wed Feb 03, 2021 1:58 pm

Re: BdMO National 2021 Junior Problem 1

Unread post by Pro_GRMR » Tue Apr 13, 2021 8:48 pm

Anindya Biswas wrote:
Mon Apr 12, 2021 11:30 am
মিতা একটা সারিতে \(2024\)-টা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এমনভাবে লিখেছে যাতে পরপর যেকোনো চারটা সংখ্যার গুণফল \(2100\) হয়। সারির প্রথম সংখ্যাটা \(7\), \(1011\)-তম সংখ্যাটা \(5\), \(2014\)-তম সংখ্যাটা \(20\)। সারির সবার শেষের সংখ্যাটা কত?

Mita wrote $2024$ positive integers in a row such that the product of any four adjacent numbers is $2100$. The first number is $7$, the $1011$th number is $5$, the $2014$th number is $20$. What is the last number in the row?
Let's number the $i$'th integers as $a_i$ like so:
$a_1, a_2, \dots, a_{2024}$
We know,
$\frac{a_{i}\cdot a_{i+1}\cdot a_{i+2}\cdot a_{i+3}}{a_{i+1}\cdot a_{i+2}\cdot a _{i+3}\cdot a_{i+4}}=\frac{2100}{2100}$
$\Longrightarrow \frac{a_i}{a_{i+4}}=1$
$\Longrightarrow a_i=a_{i+4}$
which means if $i \equiv j ($mod $4)$ then $a_i = a_j$

Thus,
$a_{1011}=a_3=5$
$a_{2014}=a_2=20$
also, $a_1=7$

Again,
$a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot a_{4}=2100$
$\Longrightarrow 7\cdot 20\cdot 5\cdot a_{4}=2100$
$\Longrightarrow a_{4}=3$

And so, $ a_{2024}=a_{4}=\boxed{3}$
"When you change the way you look at things, the things you look at change." - Max Planck

Post Reply