\(1 < N \leq 2021\) একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। \(1, 2, 3, \cdots, N\) সংখ্যাগুলো একটা সারিতে এই ক্রমে সাজানো আছে। জয়দীপ আর মুরসালিন একটা খেলা খেলছে যেখানে তারা পালাক্রমে সারির যেকোনো দুটো পরপর সংখ্যা বাছাই করে, মুছে দেয় এবং তাদের যোগফল বা গুণফলটা লিখে দেয়। ফলে প্রতি চালে সংখ্যাগুলোর সংখ্যা ঠিক এক করে কমে যায়। খেলায় প্রথম চালটা জয়দীপ দেয়। খেলাটা শেষ হয় যখন খালি একটা সংখ্যা বাকি থাকে এবং জয়দীপ জেতে যদি আর কেবল যদি সেই সংখ্যাটা বিজোড় হয়। \(N\)-এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য জয়দীপের একটা জেতার স্ট্র্যাটেজি আছে, তাদের যোগফল কত?
Let $1<N\leq2021$ be a positive integer. The numbers $1, 2, 3,\cdots,N$ are written in a row in this order. Joydip and Mursalin play a game where they each take turns erasing two consecutive numbers from the board and replacing them with either their sum or their product. As a result, the number of numbers goes down by one in each turn. Joydip goes first. The game ends when there is only a single number left and Joydip wins if and only if this number is odd. What is the sum of all possible values of $N$ for which Joydip has a winning strategy?
BdMO National 2021 Junior Problem 12
- Anindya Biswas
- Posts:264
- Joined:Fri Oct 02, 2020 8:51 pm
- Location:Magura, Bangladesh
- Contact:
"If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is."
— John von Neumann
— John von Neumann
Re: BdMO National 2021 Junior Problem 12
Can someone give a solution to this problem?
- Anindya Biswas
- Posts:264
- Joined:Fri Oct 02, 2020 8:51 pm
- Location:Magura, Bangladesh
- Contact:
Re: BdMO National 2021 Junior Problem 12
Anindya Biswas wrote: ↑Mon Apr 12, 2021 1:12 pm\(1 < N \leq 2021\) একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। \(1, 2, 3, \cdots, N\) সংখ্যাগুলো একটা সারিতে এই ক্রমে সাজানো আছে। জয়দীপ আর মুরসালিন একটা খেলা খেলছে যেখানে তারা পালাক্রমে সারির যেকোনো দুটো পরপর সংখ্যা বাছাই করে, মুছে দেয় এবং তাদের যোগফল বা গুণফলটা লিখে দেয়। ফলে প্রতি চালে সংখ্যাগুলোর সংখ্যা ঠিক এক করে কমে যায়। খেলায় প্রথম চালটা জয়দীপ দেয়। খেলাটা শেষ হয় যখন খালি একটা সংখ্যা বাকি থাকে এবং জয়দীপ জেতে যদি আর কেবল যদি সেই সংখ্যাটা বিজোড় হয়। \(N\)-এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য জয়দীপের একটা জেতার স্ট্র্যাটেজি আছে, তাদের যোগফল কত?
Let $1<N\leq2021$ be a positive integer. The numbers $1, 2, 3,\cdots,N$ are written in a row in this order. Joydip and Mursalin play a game where they each take turns erasing two consecutive numbers from the board and replacing them with either their sum or their product. As a result, the number of numbers goes down by one in each turn. Joydip goes first. The game ends when there is only a single number left and Joydip wins if and only if this number is odd. What is the sum of all possible values of $N$ for which Joydip has a winning strategy?
"If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is."
— John von Neumann
— John von Neumann