BdMO National Junior 2011/5

[Moon]

Problem 5:
Let, $A=211$ and $B=106^{211}$, which one is larger? Show logic.
($n!$ denotes the product of all the integers from $1$ to $n$. That means $n! =1\times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times n$. For example $5!=1\times 2 \times 3 \times 4 \times 5 =120$.)

[Dipika]

I think in the question u have missed the factorial sign..

[Labib]

Yes he did...
And the simplest hint to solve it is...

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

[Dipika]

I don't get you...
how will it work???....

[Labib]

Dipika...

$1\cdot 211=(106-105)(106+105)=106^2-105^2<106^2$

Do the same thing with others.
(Edited:: Courtesy AM Rafi)

[Abdul Muntakim Rafi]

Labib edit the typing mistake... should be $106^2-105^2<106^2$

[Eesha]

বুঝিনা... ঠিকমত বুঝায়া দ্যান।

[Moon]

আমাদের প্রমাণ করা দরকার
$1\times 2 \times 3 \times \cdots 105 \times 106 \times 107 \times \cdots \times 211 < 106 \times \cdots \times 106$
এখন 106 কাটাকাটি করলে থাকে \[1\times 2 \times 3 \times \cdots 105 \times 107 \times \cdots \times 211 < 106 \times \cdots \times 106\]
আমরা বামপাশ থেকে একটা ছোট আর একটা বড় নিয়ে 105 টা জোড়া নিব-- $1 \times 211, 2 \times 210$ ইত্যাদি (সব জোড়ার যোগফল 212.)
সুতরাং এটা প্রমাণ করলেই হবে যে $x \times (212-x) < 106^2 \iff x^2-2.106+106^2>0 \iff (x-106)^2>0$ যেটা সত্য।
সুতরাং এরকম ১০৫ টা জোড়া গুণ করলেই উপরের inequality পাওয়া যাবে।