BdMO National Higher Secondary 2011/1

[BdMO]

Problem 1:
Prove that for any non-negative integer $n$ the numbers $1, 2, 3, ..., 4n$ can be divided in tow mutually exclusive classes with equal number of members so that the sum of numbers of each class is equal.

[Mehfuj Zahir]

Take the number like as 1,2,4n-1,4n &divide it two equal parts such as 1+4n=2+4n-1Take four numbers in this order Divide them in two equal parts.As 4n is divisible by 4 so that we can do it easily.

[FahimFerdous]

My solution is the same. So, I don't have to post it.

[rakeen]

এইটা percepption দিয়ে বঝা যায়। কিন্তু প্রমান করা এক্তু কঠিন।

ধরি, নিরনেয় দুটি সেট A & B.

1,2,3,……., 4n এই অনুক্রম এর মধ্যপদ হবে দুইটাঃ 2n & 2n+1

আমরা অই অনুক্রমটির প্রথম ও শেষ পদ এক্তি সেটে নিব। এবং ২য় ও শেষের আগের পদ অন্য সেটে নিব। অরথাত,

A={ 1+4n , 3+ 4n-1 , ……., (2n-1) + (2n+2) }
B ={ 2+(4n-1), 4+(4n-2),…..,2n+(2n+1) }

অরথাত অই দুটা সেট প্রশ্নে দেওয়া শরত পুরন করে।

[tarek like math]

first x+(x+3)=(x+1)+(x+2)=2x+3 is true for every x.
then all 4n numbers can divide into two group of equal sum.
n+(n+3)=(n+1)+(n+2).....(n+m)+(n+m+3)=(n+m+1)+(n+m+2).....(4n-3)+4n=(4n-2)+(4n-1)

[Masum]

এইটা percepption দিয়ে বঝা যায়। কিন্তু প্রমান করা এক্তু কঠিন।

ধরি, নিরনেয় দুটি সেট A & B.

1,2,3,……., 4n এই অনুক্রম এর মধ্যপদ হবে দুইটাঃ 2n & 2n+1

আমরা অই অনুক্রমটির প্রথম ও শেষ পদ এক্তি সেটে নিব। এবং ২য় ও শেষের আগের পদ অন্য সেটে নিব। অরথাত,

A={ 1+4n , 3+ 4n-1 , ……., (2n-1) + (2n+2) }
B ={ 2+(4n-1), 4+(4n-2),…..,2n+(2n+1) }

অরথাত অই দুটা সেট প্রশ্নে দেওয়া শরত পুরন করে।

You don't need to prove the result, you are asked to find it only, nothing more than that. And I think this solution is good.

[rakeen]

find or Show?

I think this solution is good.

really?

[Masum]

Certainly yes.