Number Theory Aaggainnn...:(

[sakibtanvir]

Is it possible to write a number using $1,2,3,....9$ digits once which is a perfect square and the last digit is $5$?
That is what I call"Real Number Theory Problem".
i.e:NO CONGRUENCE.

[Phlembac Adib Hasan]

মানে বুঝলাম না। এক থেকে নয় পর্যন্ত কি সবগুলোই ব্যবহার করতে হবে নাকি মাঝে দুই একটা বাদ দেওয়া যাবে? বাদ দেওয়া গেলে তো একটা সহজ উত্তর আছে: $25$.

[*Mahi*]

I think it means using the digits exactly once.

[sakibtanvir]

Yes,It is...We have to use all the digits and exactly once.

[Phlembac Adib Hasan]

এইটা কিছু হইল??? পুরোপুরি Bruit Force. কম্পিউটারের জন্য একেবারে আদর্শ। আমার তো ইচ্ছা করতেসে এখনই সি প্লাস প্লাসে একটা প্রোগ্রাম লিখে কম্পিউটারকে বসিয়ে দেই। RAM কম বলে অনেকটা সময় লাগবে। সেইজন্য খালি পারতেসি না।

[jkisor]

Ans er ses 2 ta digit hobe 25

[jkisor]

এরকম কোন সংখ্যা নাই

[Fahim Shahriar]

Suppose, there exists such number.

The number's last two digit will surely be $25$.
As its square root's last digit is $5$, then the third digit(from right) has 3 possible values; $0$,$2$ or $6$.
The number doesn't contain $0$ and $2$ has already been used as 2nd digit. So the third digit must be $6$.

Now, the number's last 3 digits are $625$ and its square root's last 2 digits are either $25$ and $75$.

The square root of the number contains 5 digits. We can write the number as $(10000a+1000b+100c+25)^2$ OR $(10000a+1000b+100c+75)^2$.

We will ignore $10000a+1000b$ as we are working only on 4th digit.
From $(100c+25)^2=10000c^2+5000c+625$ and $(100c+75)^2=10000c^2+15000c+5625$ , we can easily observe that the 4th digit will be either $0$ or $5$. But for same previous reasons it isn't possible.

সুতরাং এরকম কোন সংখ্যা নেই। Have I done any mistake?

[Prosenjit Basak]

Yes Fahim bhaiya is absolutely correct.

[nayel]

এইটা কিছু হইল??? পুরোপুরি Bruit Force. কম্পিউটারের জন্য একেবারে আদর্শ। আমার তো ইচ্ছা করতেসে এখনই সি প্লাস প্লাসে একটা প্রোগ্রাম লিখে কম্পিউটারকে বসিয়ে দেই। RAM কম বলে অনেকটা সময় লাগবে। সেইজন্য খালি পারতেসি না।

This very nice problem is an example of why human brain is more powerful than a computer (cf. fahim's solution above).