My first posted problem.

[famim2011]

The numbers 1,2,......,50 are written in a blackboard.Each minute any two numbers are erased and their positive difference is written instead.At the end one number remains.which?

[Eesha]

$Answer$ সম্ভবত $1$

[sakibtanvir]

I think the answer isn't unique (probably!!).Because, doing the same thing over a small set of numbers(say 1,2,3,..6)
doesn't give an unique answer.

[SANZEED]

I think the answer isn't unique (probably!!).Because, doing the same thing over a small set of numbers(say 1,2,3,..6)
doesn't give an unique answer.

Actually,I think you are right.It seems to me that we can't get an unique number. But it can be proved that at the end an odd number will remain. Let $S=1+2+3+...+25=325$. Here $S\equiv 1 (mod 2)$. But if you erase $a,b$, then in each step $S$ will be reduced by $2min(a,b)$, which is an even number. So during the whole reduction process you will have $S\equiv 1(mod 2)$. Initially the parity is odd. So it will be odd too at the end.

[Phlembac Adib Hasan]

I think the answer isn't unique (probably!!).Because, doing the same thing over a small set of numbers(say 1,2,3,..6)
doesn't give an unique answer.

Actually, you are right. We can't get an unique number. But it can be proved that at the end an odd number will remain. Let $S=1+2+3+...+25=325$. Here $S\equiv 1 (mod 2)$. But if you erase $a,b$, then in each step $S$ will be reduced by $2min(a,b)$, which is an even number. So during the whole reduction process you will have $S\equiv 1(mod 2)$. Initially the parity is odd. So it will be odd too at the end.

এই পার্টটা problem solving strategies-এর অনুরূপ। এখানে প্রুফ করা হইসে শেষ সংখ্যা বেজোড় হবে। কিন্তু তুমি তো proof কর নাই যে ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা আসতে পারে। তাইলে এত নিশ্চিত ক্যামনে হইলা?
আর সাকিব তানভীর, এক থেকে ছয়ের মধ্যে যে ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা আসে সেটা আমিও দেখেছি। তবে $6,10,14, 18$ এই প্রতিটার জন্য আমি প্রোগ্রাম লিখে পনের থেকে বিশবার বোর্ডের সব সংখ্যা মোছামুছি করেছি। সব বারই শেষ সংখ্যা $1$ এসেছে। তাই আমার মনে হয় এক ধাক্কায় প্রবলেমটাকে ভুল বলে দেওয়া ঠিক না। যদি বলতেই হয় তবে কোন কারণ দেখাতে হবে। আর স্টেটমেন্ট ঠিক থাকলে $50\equiv 2(\bmod \; 4)$ এর বিশাল পরিমাণ গুরুত্ব আছে এখানে।

[SANZEED]

I think the answer isn't unique (probably!!).Because, doing the same thing over a small set of numbers(say 1,2,3,..6)
doesn't give an unique answer.

Actually, you are right. We can't get an unique number. But it can be proved that at the end an odd number will remain. Let $S=1+2+3+...+25=325$. Here $S\equiv 1 (mod 2)$. But if you erase $a,b$, then in each step $S$ will be reduced by $2min(a,b)$, which is an even number. So during the whole reduction process you will have $S\equiv 1(mod 2)$. Initially the parity is odd. So it will be odd too at the end.

এই পার্টটা problem solving strategies-এর অনুরূপ। এখানে প্রুফ করা হইসে শেষ সংখ্যা বেজোড় হবে। কিন্তু তুমি তো proof কর নাই যে ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা আসতে পারে। তাইলে এত নিশ্চিত ক্যামনে হইলা?

Sorry, I eliminated "I think" while typing. And what more, I have just checked it thrice and got $7$ once. I have also rechecked all the steps of this case.

[nafistiham]

আচ্ছা আমি যদি এমন করি !
$(1,26),(2,27),(3,28),(4,29)......(25,50)$
জোড়াগুলোকে বাদ দিলাম ।
থাকল কি ?
$25$ টি $25$
এখন বার জোড়া $25$ বাদ দিলে থাকে একটা $25$ ।

আচ্ছা,
এবার অন্যভাবে করি ।
পাশাপাশি প্রতি দুটি সংখ্যা বাদ দিয়ে $25$ টি $1$ আনি ।
এবার শেষে তো $1$ই থাকবে ।

আর যতদুর জানি । সমস্যার সমাধান যোগ্যতা প্রমান করতে একটা $CONUTER$ $EXAMPLE$ ই যথেষ্ট ।