ধারা এবং কায়কোবাদ স্যার

For students of class 11-12 (age 16+)
User avatar
sm.joty
Posts: 327
Joined: Thu Aug 18, 2011 12:42 am
Location: Dhaka

ধারা এবং কায়কোবাদ স্যার

Unread post by sm.joty » Mon Dec 12, 2011 9:55 pm

সমস্যা ঃ $N=1+50+50^2+50^3+\cdots\cdots+5^{999}$
$N$ এর শেষ ১০০০ টি অঙ্ক বের কর।

উৎসঃ যারা গনিত অলিম্পিয়াডে যাবে।

এই সমস্যার সমাধান বইয়েই দেয়া আছে। সমাধানে বলা আছে শেষ ১০০০ টা অঙ্ক ০। তারমানে এককের অঙ্ক ০ কিন্তু আমার সমাধান বলে এককের অঙ্ক ১ হবার কথা । কোথায় যে ভুলটা হল বুঝলাম না।
এমনিতেই বলা যায় $50+50^2+\cdots\cdots+50^{999}$ এর শেষ অঙ্ক ০।
তাহলে $N$ এর শেষ অঙ্ক ১ হবার কথা না !!! :!:
Please reply soon..... :cry: :? :cry:

N.B: কায়কোবাদ স্যার আমদের অত্তান্ত প্রিয় মানুষ । কেউ যাতে মনে না করে আমি বলছি স্যারের সমাধান ভুল। ভুল যে কারও হতে পারে কিন্তু স্যারের সমাধান ভুল বলার যোগ্যতা আমার নাই। স্যারের প্রতি অসংখ্য শুভ কামনা রইল। :mrgreen:
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........

User avatar
nafistiham
Posts: 829
Joined: Mon Oct 17, 2011 3:56 pm
Location: 24.758613,90.400161
Contact:

Re: ধারা এবং কায়কোবাদ স্যার

Unread post by nafistiham » Mon Dec 12, 2011 10:45 pm

বইটা দেখলাম । কিছুই বুঝলাম না । কারন, ভেবেছিলাম প্রশ্নে হয়ত ভুল রয়েছে, কিন্তু সমাধানটা $1$ ধরেই করা হয়েছে । বিভ্রান্তিকর । :?
\[\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2 \pi i k}{n}}=0\]
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
Introduction:
Nafis Tiham
CSE Dept. SUST -HSC 14'
http://www.facebook.com/nafistiham
nafistiham@gmail

User avatar
Labib
Posts: 411
Joined: Thu Dec 09, 2010 10:58 pm
Location: Dhaka, Bangladesh.

Re: ধারা এবং কায়কোবাদ স্যার

Unread post by Labib » Wed Dec 14, 2011 1:05 am

বইয়ের উত্তর পুরাই ভুল... কারন শেষে অন্তত ৫১ থাকা লাগবে... বুঝলাম না... বইয়ে কি করসে... :?
Please Install $L^AT_EX$ fonts in your PC for better looking equations,
Learn how to write equations, and don't forget to read Forum Guide and Rules.


"When you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth." - Sherlock Holmes

User avatar
sm.joty
Posts: 327
Joined: Thu Aug 18, 2011 12:42 am
Location: Dhaka

Re: ধারা এবং কায়কোবাদ স্যার

Unread post by sm.joty » Wed Dec 14, 2011 1:49 pm

সামনে কিছু দিনের মধ্যে আমার ফ্রেন্ডদের সাথে নিয়ে বুয়েট ঘুরতে যাওয়ার কথা আছে। আমি স্যার কে সরাসরি জিজ্ঞেস করার চেষ্টা করবো। :ugeek: :ugeek:

আর স্যারের প্রমান গুলা অনেক দুর্বোধ্য হয়। :? :roll:
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........

User avatar
sm.joty
Posts: 327
Joined: Thu Aug 18, 2011 12:42 am
Location: Dhaka

Re: ধারা এবং কায়কোবাদ স্যার

Unread post by sm.joty » Thu Dec 15, 2011 3:17 pm

YUREKA YUREKA YUREKA


আমি বলেছিলাম কায়কোবাদ স্যারকে গিয়ে জিজ্ঞেস করবো, কিন্তু তার আগেই মনে হয় আমি একটা সমাধান পেয়ে গেছি।
আজ অলিম্পিয়াডের রেজিস্ট্রেশন করে আসার সময় হঠাৎ করেই মাথায় সমাধানটা চলে আসল। ভাবলাম শেয়ার করি। কোন ভুল থাকলে তাড়াতাড়ি বল। মতামত জানাও। :P
আসলে সমাধান ভুল না আমাদের বোঝার ভুল। স্যার এখানে পুরো সমাধানটা দেন নাই। (উনার সব সময় ধারনা উনার মত সবাই এই সব জিনিস বোঝে। :( :( )
কেউ কি খেয়াল করছ এখানে $N-M$ এর শেষ অঙ্ক বের করা হইছে, $N$ এর না। :D
তাহলে $N=M+x.10^{1000}$
অর্থাৎ $N$ এর শেষ ১০০০ টা অঙ্ক $M$ এর এর শেষ ১০০০ অঙ্ক দ্বারা প্রতিস্থাপিত হবে।
এখন $23\times42 = 966$
তাহলে শেষ ৯৬৬ টা অঙ্ক হল $\frac{1}{49}$ এর দশমিকের পর পুনরাবৃত্ত অংশ যেটাকে আমরা $p$ বলছি, তার ২৩ বার পুনারাবৃত্তি। আর বাকি ৩৪ টা অঙ্ক হল শেষের দিক হতে $p$ এর ৩৪ টা অঙ্ক অর্থাৎ
$63265306122448979591836734693877551$
কী চমৎকার একটা সমাধান। :o :!: :!: :!: :!: :!:

আমি হাতে কলমে ৫ ঘর পর্যন্ত শেষ সংখ্যা গুলা বের করছিলাম যেটা পুরাপুরি $p$ এর শেষ ৫ টার সাথে মিলে গেল। যারা প্রোগ্রামিং পার তারা প্রোগ্রাম করে শেষ ৪২ টা অঙ্ক বের করে দেখ । পুরো মিলে যাবে। :)
এই অসাধারন সমাধানটাকে আমি বলছিলাম ভুল। আসলেই আমার মাথায় কিসসু নাই।
জাফর ইকবাল স্যার তার একটা বইয়ে লিখেছিলেন,"তিনি ছোট বেলায় একবার নিউটনের সুত্রে ভুল বের করেছিলেন। এটার জন্য আরও একটা নতুন সূত্রও বের করেছিলেন। পড়ে দেখলেন এটা আসলে বোঝার ভুল"
উনার ব্যাপারটায় তো সমাধান ছিল না, কিন্তু আমার কাছে সমাধান থাকার পরও আমি বুঝতে পারলাম না। :( :( :(

কায়কোবাদ স্যার আসলে মনে করেন আমারা প্রত্যেকটা সমস্যা ভালো ভাবে বুঝে সমাধান করি,এমনকি সমাধান দেয়া থাকলেও সেটা যেন আমাদের প্রতিভাকে ধ্বংস না করে তাই সমাধান গুলো সম্পূর্ণ দেয়া হয় না। তিনি চান আমরা যেন কোনকিছু না বুঝেও বোঝার ভান না করি। প্রকৃত জ্ঞান আসলে অর্জন করার বিষয়, শুধু বই পরেই মনে হয় প্রকৃত জ্ঞান পাওয়া যায় না সেটা অর্জন করতে হয়। :mrgreen:
A great respect to our Kaykobad Sir.
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........

User avatar
nafistiham
Posts: 829
Joined: Mon Oct 17, 2011 3:56 pm
Location: 24.758613,90.400161
Contact:

Re: ধারা এবং কায়কোবাদ স্যার

Unread post by nafistiham » Thu Dec 15, 2011 4:12 pm

wow....great job.i was a fool ,too.amazing.thanks
\[\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2 \pi i k}{n}}=0\]
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
Introduction:
Nafis Tiham
CSE Dept. SUST -HSC 14'
http://www.facebook.com/nafistiham
nafistiham@gmail

User avatar
sm.joty
Posts: 327
Joined: Thu Aug 18, 2011 12:42 am
Location: Dhaka

Re: ধারা এবং কায়কোবাদ স্যার

Unread post by sm.joty » Sun Dec 18, 2011 2:25 pm

Welcome. :D :mrgreen: :mrgreen:
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........

User avatar
amlansaha
Posts: 100
Joined: Tue Feb 08, 2011 1:11 pm
Location: Khulna, Bangladesh
Contact:

Re: ধারা এবং কায়কোবাদ স্যার

Unread post by amlansaha » Sun Dec 18, 2011 9:13 pm

sm.joty wrote:
কেউ কি খেয়াল করছ এখানে $N-M$ এর শেষ অঙ্ক বের করা হইছে, $N$ এর না। :D
তাহলে $N=M+x.10^{1000}$
অর্থাৎ $N$ এর শেষ ১০০০ টা অঙ্ক $M$ এর এর শেষ ১০০০ অঙ্ক দ্বারা প্রতিস্থাপিত হবে।
এখন $23\times42 = 966$
তাহলে শেষ ৯৬৬ টা অঙ্ক হল $\frac{1}{49}$ এর দশমিকের পর পুনরাবৃত্ত অংশ যেটাকে আমরা $p$ বলছি, তার ২৩ বার পুনারাবৃত্তি। আর বাকি ৩৪ টা অঙ্ক হল শেষের দিক হতে $p$ এর ৩৪ টা অঙ্ক অর্থাৎ
$63265306122448979591836734693877551$
কী চমৎকার একটা সমাধান। :o :!: :!: :!: :!: :!:
এ এক মিনিট, এক মিনিট, এইখানে $N-M$ , $M$ $p$ কি জিনিস? আমার কাছে স্যারের বইটা নাই তাই এইগুলা বই থেকে নেয়া হইলে এগুলার পরিচয় একটু দাও।
অম্লান সাহা

User avatar
sm.joty
Posts: 327
Joined: Thu Aug 18, 2011 12:42 am
Location: Dhaka

Re: ধারা এবং কায়কোবাদ স্যার

Unread post by sm.joty » Mon Dec 19, 2011 6:52 pm

$N$ এর পরিচয় প্রশ্নেই আছে।
স্যারের সমাধান এরকম ঃ
$N=\frac{50^{1000}-1}{49}$
$\frac{1}{49}$ কে দশমিকে প্রকাশ করলে ৪২ অঙ্কের পুনরাবৃত্তি ঘটে।
$\frac{1}{49}=0.02408..........77551$
সংক্ষেপে লেখা যায় $\frac{1}{49}=0.(p)$ যেখানে $p$ হল দশমিকের পরে সেই 42 অঙ্কের সংখ্যা যেটার পুনরাবৃত্তি হচ্ছে।
1000 এর নিকটবর্তী 42 এর গুনিতক হল $1008=24\times42$
অতএব, $\frac{10^{1008}}{49}=10^{1008}\frac{1}{49}=pp........p$ 24 টি $p$
তাহলে $M=\frac{10^{1008}-1}{49}=10^{1008}\frac{1}{49}-\frac{1}{49}=pp...........p$ ,( 24 টি p)
যা একটি 1008 অঙ্কের পূর্ণ সংখ্যা এবং যা 42 অঙ্কের সংখ্যা $p$ এর 24 টি কপির সমান। প্রকৃত পক্ষে M হল 1007 অঙ্কের সংখ্যা কারন $p$ শুরু হয় 0 দিয়ে।
এবার
$N-M=\frac{5^{1000}\times10^{1000}-1}{49}-\frac{10^{1008}-1}{49}$
$=\frac{5^{1000}-10^{8}}{49}\times10^{1000}$
যেহেতু দুটি ইন্টিজারের বিয়োগফলও আরেকটি ইন্টিজার এবং যেহেতু $10^{1000}$,$49$ এর সহ মৌলিক
$5^{1000}-10^{8}$,$49$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
অতএব, $x=\frac{(5^{1000}-10^{8})}{49}$ একটি ইন্টিজার এবং $N-M=10^{1000}.x$
$N-M$ এর শেষে 1000 টি শূন্য রয়েছে।
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........

User avatar
amlansaha
Posts: 100
Joined: Tue Feb 08, 2011 1:11 pm
Location: Khulna, Bangladesh
Contact:

Re: ধারা এবং কায়কোবাদ স্যার

Unread post by amlansaha » Mon Dec 19, 2011 10:21 pm

:D :D :D :D :D :D :D :D
অম্লান সাহা

Post Reply