BdMO Online Forum

বিভাগীয় তে ভালো করতে হলে আগে পাঠ্যবইয়ের সমস্যা ভালো ভাবে করা লাগে। কিন্তু আমি পাঠ্যবইয়ের সমস্যাই এখনও ঠিক ভাবে করতে পারি না কপালে নিশ্চিত কষ্ট আছে...
যাই হোক নিচের সমস্যাগুলার সমাধান নীলক্ষেত থেকে একটা সমাধান বই কিনলেই পাওয়া যেত কিন্তু কেন এমন সমাধান আসল, এটা কেন হল, ওটা কেন হল না এসব প্রশ্নের উত্তর পেতাম না। তাই ভাবলাম এগুলা পোস্ট করে দেখি।

সমস্যাঃ
১.স্বরবর্ণ গুলো কেবল জোড় স্থানে রেখে 'article' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায় ?
২.'identity' শব্দটির অক্ষরগুলোকে এমন কতভাবে সাজানো যায় যেন প্রথমে এবং শেষে i থাকে ?
৩.একটি প্রফেসর পদের জন্য প্রার্থী ৩ জন আর ভোটার ৫ জন। কত প্রকারে ভোট দেয়া যাবে ?
৪.কোনো সংখ্যার পুনরাবৃত্তি না করে $0,3,5,6,8$ অঙ্ক গুলো দ্বারা $4000$ এর চেয়ে বড় কতোগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় ?
৫.$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ অংকগুলো দ্বারা এদের প্রত্যেককে একবারের বেশি না নিয়ে ১০০০ এর চেয়ে ছোট এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য কত গুলো সংখ্যা তৈরি করা যায় ?
৬.৮ টি ভিন্ন ধরনের মুক্তা দিয়ে কত রকমে একটা ব্যান্ডে লাগিয়ে একটা হার তৈরি করা যায় ?
৭.দুজন কলা বিভাগের ছাত্রকে একত্রে না বসিয়ে ৫ জন বিজ্ঞানের ও ৫ জন কলা বিভাগের ছাত্র কত রকমে একটা গোলটেবিলের পাশে আসন নিতে পারে ?
৮.দুজন Bsc ক্লাসের ছাত্র কে পাশাপাশি না বসিয়ে 14 জন I.sc. ও 10 জন B.sc. ক্লাসের ছাত্রকে কত রকমে একটি লাইনে সাজানো যায় ?


এবার আমার সমাধান দেখেন আর আমি কেন ভুল সেটা বলেন।

আমি এখনো উচ্চ মাধ্যমিকের পাঠ্যবই পড়িনি । তবে যতটুকু বিন্যাস সমাবেশ পারি তা থেকে বলছি । (ত্রুটি ক্ষমাসুন্দর চোখে দেখার অনুরোধ রইল )
১,২,৪,৫ নং সমস্যায় আমি একমত
৩ নং case by case করতে হবে । আমার সমাধান এত বড় যে আমি আরও ছোট খুঁজছি ।
6.here, it is a necklace or a circle of elements. so the answer should be $\frac{8!}{8}=7!$
7.it is a round table so, the answer should be $\frac{5! \cdot 5!}{10}$
৮ নং টা পারিনা ।

১,২ সহমত।

৫ নং সমস্যায় তোমরা ২ অঙ্কের আর ১ অঙ্কের সংখ্যারে গণায় ধর নাই।
শেষ অঙ্ক ৫ এবং শূন্য এর জন্য ৯=৯=১৮ টা। (আমি দুই অঙ্ক আর এক অঙ্ক একসাথে হিসাব করলাম)
১৩৬+১৮=১৫৪
৬। তিহামের সাথে সহমত।

৮। ১৪ জন্রে নিয়া আমাদের কোন চিন্তা নাই। এরা যেমনে ইচ্ছা বস্তে পারে আগে পিছে। আমাদের সমস্যা BSC এর দের নিয়া। তাই আগে নিরীহ দের লাইনে বসায়া দেই। ১৪ জন ISC রে লাইনে রাখলাম। এখন BSc দের এমন ভাবে বসাতে হবে যেন পাশাপাশি না পরে। তাইলে ১৪ জন ISC এর জন্য আমরা ১৫ টা জায়গা পাইলাম। এই ১৫ জায়গাতে ১০ টা BSC রে বসায় দিতে পারব। 15P10
That lead us to the answer $14!* 15P10$

৭ নং এর উত্তর তিহামের ব্যাখ্যা কি?

explanation for $7$
here there are $5$ are in science and $5$ are in arts. as no two types of same people can sit together, we have to consider the permutation among themselves. and like the necklace problem, we have to divide $5! \cdot 5!$ by $10$ as there are total $10$ students.

3. $3^5$, because all of the 5 voters vote any of the 3 at their free will.

(১) ও (২) এ সহমত।

(৩)
এ মাহির সাথে সহমত।

(৪)
এ পাঁচ অঙ্কের সংখ্যাগুলো বাদ কেন?? অগুলো গঠন করা যায় $4\cdot 4!$ উপায়ে...
৪ অঙ্কের সংখ্যা পাওয়া যায় $3\cdot \frac{4!}{1!}$।
সুতরাং মোট সংখ্যা... $3\cdot \frac{4!}{1!}+4\cdot 4!$।

(৫)
$০$ কে বাদ দিলে কেন?? @ রাফি?

(৬)
মালার ক্ষেত্রে মনে হয়, ২ দিয়ে ফলাফল ভাগ করতে হয়... কারন সেটাকে ঘোরানো যায়। তাই ফলাফলঃ $\frac{7!}2$।

(৭)
আমার মনে হয়... জিনিসটা মালার মতো না যে হঠাত উলটো করে ফেলা যাবে... তাই সমাধান... ঃঃ $4!\cdot 5!$।

(৮) রাফিরটা ঠিক আছে...

Labib wrote:(১) ও (২) এ সহমত।

(৬)
মালার ক্ষেত্রে মনে হয়, ২ দিয়ে ফলাফল ভাগ করতে হয়... কারন সেটাকে ঘোরানো যায়। তাই ফলাফলঃ $\frac{7!}2$।

6. no tar uttor $7!$ howa uchit. Karon je kono ekta distinct band ke $8$ vabe rotate korle all possible permutaion pawar kotha

Amar bujhar vul thakle keo bujhai diyo

লাবিব, ০ থাকা না থাকা trivial জিনিস।

৩ এর উত্তর $4^5$ হতে পারে না? কারণ ভোটার কোন প্রার্থীকে ভোট নাও দিতে পারে।

লাবিব ৬-৭ এ তুই যেটা বলতেছস বুঝি নাই। উলটে ফেলা মানে কি বলতেছস?

এখানে না ভোটের সিস্টেম দেখতিচি না ।@bristy1588

we have to consider that when it is a round table or band, the permutation has to be divided by the number of the elements.because, the permutation has no value when we change any orientation.for instance $ABC,BCA,CAB$ are same around a round table