পাঠ্যবইয়ের সমস্যা -০১ (Combinatorix)

For students of class 11-12 (age 16+)
User avatar
sm.joty
Posts: 327
Joined: Thu Aug 18, 2011 12:42 am
Location: Dhaka

পাঠ্যবইয়ের সমস্যা -০১ (Combinatorix)

Unread post by sm.joty » Mon Dec 19, 2011 6:16 pm

বিভাগীয় তে ভালো করতে হলে আগে পাঠ্যবইয়ের সমস্যা ভালো ভাবে করা লাগে। কিন্তু আমি পাঠ্যবইয়ের সমস্যাই এখনও ঠিক ভাবে করতে পারি না :cry: :cry: :cry: কপালে নিশ্চিত কষ্ট আছে... :?
যাই হোক নিচের সমস্যাগুলার সমাধান নীলক্ষেত থেকে একটা সমাধান বই কিনলেই পাওয়া যেত কিন্তু কেন এমন সমাধান আসল, এটা কেন হল, ওটা কেন হল না এসব প্রশ্নের উত্তর পেতাম না। তাই ভাবলাম এগুলা পোস্ট করে দেখি।

সমস্যাঃ
১.স্বরবর্ণ গুলো কেবল জোড় স্থানে রেখে 'article' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায় ?
২.'identity' শব্দটির অক্ষরগুলোকে এমন কতভাবে সাজানো যায় যেন প্রথমে এবং শেষে i থাকে ?
৩.একটি প্রফেসর পদের জন্য প্রার্থী ৩ জন আর ভোটার ৫ জন। কত প্রকারে ভোট দেয়া যাবে ?
৪.কোনো সংখ্যার পুনরাবৃত্তি না করে $0,3,5,6,8$ অঙ্ক গুলো দ্বারা $4000$ এর চেয়ে বড় কতোগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় ?
৫.$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ অংকগুলো দ্বারা এদের প্রত্যেককে একবারের বেশি না নিয়ে ১০০০ এর চেয়ে ছোট এবং ৫ দ্বারা বিভাজ্য কত গুলো সংখ্যা তৈরি করা যায় ?
৬.৮ টি ভিন্ন ধরনের মুক্তা দিয়ে কত রকমে একটা ব্যান্ডে লাগিয়ে একটা হার তৈরি করা যায় ?
৭.দুজন কলা বিভাগের ছাত্রকে একত্রে না বসিয়ে ৫ জন বিজ্ঞানের ও ৫ জন কলা বিভাগের ছাত্র কত রকমে একটা গোলটেবিলের পাশে আসন নিতে পারে ?
৮.দুজন Bsc ক্লাসের ছাত্র কে পাশাপাশি না বসিয়ে 14 জন I.sc. ও 10 জন B.sc. ক্লাসের ছাত্রকে কত রকমে একটি লাইনে সাজানো যায় ?


এবার আমার সমাধান দেখেন আর আমি কেন ভুল সেটা বলেন।
১. ৩ টা জোড় স্থানে ৩ টা স্বরবর্ণ রেখে বিন্যাস করা যায় ৩! ভাবে আর প্রতি বিন্যাসের জন্য বাকি বর্ণগুলার বিন্যাস হয় ৪!
তাই মোট বিন্যাস $৩!*৪!$
কিন্তু বইয়ের উত্তর বলে ভিন্ন কথা। কেন ?

২.i দুটোকে প্রথমে আর শেষে রেখে বাকি বর্ণ গুলো সাজানো যায় $৬!/২!$ ভাবে কিন্তু বইয়ে উত্তর আছে ৭২০। কেন ?

৩. পারি নাই ।

৪. ১ম সংখ্যার জন্য আমার choice ৩ টা (কারন ০,৩ নেয়া যাবে না)। পরেরটার জন্য choice ৪ টা, তারপরে ৩ টা, ২ টা
তাহলে মোট বিন্যাস = $৩*৪*৩*২$

৫. শেষ অঙ্ক ৫ হলে ১ম অঙ্কের জন্য choice ৮ টা (কারন ০ নেয়া যাবে না)। তারপরের অঙ্কের জন্য choice ৮ টা (এখন ০ নেয়া যাবে)। তাহলে এখন বিন্যাস ৮*৮
আবার শেষ অঙ্ক ০ হলে ১ম অঙ্কের জন্য choice ৯ টা শেষ অঙ্কের জন্য choice ৮ টা।
তাহলে মোট বিন্যাস = $৮*৮+৮*৯$
কিন্তু বইয়ের উত্তর ১৫৪ । কেন ?

৬. এই সমস্যার আগামাথা বুঝি নাই। ৮ ভিন্ন জিনিস তো ৮! ভাবেই সাজানো যায় । কিন্তু বইয়ের উত্তর $৭!/২$ :shock: :shock:
কেন ?

৭.মোট বিন্যাস ১০!
আবার দুটো কলা বিভাগের ছাত্র একসাথে থাকলে তাদের কে নিয়ে একজন মনে করলে মোট বিন্যাস ৯!*২
তাহলে এক্ষেত্রে উত্তর হবে $(১০! - ৯!*২)$
(এটায় মনে হচ্ছে কোন ভুল করছি।দুজন ছাত্র কত ভাবে নেয়া যায় সেটা হিসাব করিনি। কেউ একটু এটার সল্ভ দেখান।)

৮.পারি নাই।
:D
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........

User avatar
nafistiham
Posts: 829
Joined: Mon Oct 17, 2011 3:56 pm
Location: 24.758613,90.400161
Contact:

Re: পাঠ্যবইয়ের সমস্যা -০১ (Combinatorix)

Unread post by nafistiham » Mon Dec 19, 2011 10:39 pm

আমি এখনো উচ্চ মাধ্যমিকের পাঠ্যবই পড়িনি । তবে যতটুকু বিন্যাস সমাবেশ পারি তা থেকে বলছি । (ত্রুটি ক্ষমাসুন্দর চোখে দেখার অনুরোধ রইল :) )
১,২,৪,৫ নং সমস্যায় আমি একমত
৩ নং case by case করতে হবে । আমার সমাধান এত বড় যে আমি আরও ছোট খুঁজছি ।
6.here, it is a necklace or a circle of elements. so the answer should be $\frac{8!}{8}=7!$
7.it is a round table so, the answer should be $\frac{5! \cdot 5!}{10}$
৮ নং টা পারিনা ।
\[\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2 \pi i k}{n}}=0\]
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
Introduction:
Nafis Tiham
CSE Dept. SUST -HSC 14'
http://www.facebook.com/nafistiham
nafistiham@gmail

User avatar
Abdul Muntakim Rafi
Posts: 173
Joined: Tue Mar 29, 2011 10:07 pm
Location: bangladesh,the earth,milkyway,local group.

Re: পাঠ্যবইয়ের সমস্যা -০১ (Combinatorix)

Unread post by Abdul Muntakim Rafi » Tue Dec 20, 2011 2:50 am

১,২ সহমত।

৫ নং সমস্যায় তোমরা ২ অঙ্কের আর ১ অঙ্কের সংখ্যারে গণায় ধর নাই।
শেষ অঙ্ক ৫ এবং শূন্য এর জন্য ৯=৯=১৮ টা। (আমি দুই অঙ্ক আর এক অঙ্ক একসাথে হিসাব করলাম)
১৩৬+১৮=১৫৪
৬। তিহামের সাথে সহমত।

৮। ১৪ জন্রে নিয়া আমাদের কোন চিন্তা নাই। এরা যেমনে ইচ্ছা বস্তে পারে আগে পিছে। আমাদের সমস্যা BSC এর দের নিয়া। তাই আগে নিরীহ দের লাইনে বসায়া দেই। ১৪ জন ISC রে লাইনে রাখলাম। এখন BSc দের এমন ভাবে বসাতে হবে যেন পাশাপাশি না পরে। তাইলে ১৪ জন ISC এর জন্য আমরা ১৫ টা জায়গা পাইলাম। এই ১৫ জায়গাতে ১০ টা BSC রে বসায় দিতে পারব। 15P10
That lead us to the answer $14!* 15P10$ ;)

৭ নং এর উত্তর তিহামের ব্যাখ্যা কি?
Man himself is the master of his fate...

User avatar
nafistiham
Posts: 829
Joined: Mon Oct 17, 2011 3:56 pm
Location: 24.758613,90.400161
Contact:

Re: পাঠ্যবইয়ের সমস্যা -০১ (Combinatorix)

Unread post by nafistiham » Tue Dec 20, 2011 10:01 pm

explanation for $7$
here there are $5$ are in science and $5$ are in arts. as no two types of same people can sit together, we have to consider the permutation among themselves. and like the necklace problem, we have to divide $5! \cdot 5!$ by $10$ as there are total $10$ students.
\[\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2 \pi i k}{n}}=0\]
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
Introduction:
Nafis Tiham
CSE Dept. SUST -HSC 14'
http://www.facebook.com/nafistiham
nafistiham@gmail

User avatar
*Mahi*
Posts: 1175
Joined: Wed Dec 29, 2010 12:46 pm
Location: 23.786228,90.354974
Contact:

Re: পাঠ্যবইয়ের সমস্যা -০১ (Combinatorix)

Unread post by *Mahi* » Tue Dec 20, 2011 10:23 pm

3. $3^5$, because all of the 5 voters vote any of the 3 at their free will.
Please read Forum Guide and Rules before you post.

Use $L^AT_EX$, It makes our work a lot easier!

Nur Muhammad Shafiullah | Mahi

User avatar
Labib
Posts: 411
Joined: Thu Dec 09, 2010 10:58 pm
Location: Dhaka, Bangladesh.

Re: পাঠ্যবইয়ের সমস্যা -০১ (Combinatorix)

Unread post by Labib » Wed Dec 21, 2011 5:31 pm

(১) ও (২) এ সহমত।

(৩)
এ মাহির সাথে সহমত।

(৪)
এ পাঁচ অঙ্কের সংখ্যাগুলো বাদ কেন?? অগুলো গঠন করা যায় $4\cdot 4!$ উপায়ে...
৪ অঙ্কের সংখ্যা পাওয়া যায় $3\cdot \frac{4!}{1!}$।
সুতরাং মোট সংখ্যা... $3\cdot \frac{4!}{1!}+4\cdot 4!$।

(৫)
$০$ কে বাদ দিলে কেন?? @ রাফি? :?

(৬)
মালার ক্ষেত্রে মনে হয়, ২ দিয়ে ফলাফল ভাগ করতে হয়... কারন সেটাকে ঘোরানো যায়। তাই ফলাফলঃ $\frac{7!}2$।

(৭)
আমার মনে হয়... জিনিসটা মালার মতো না যে হঠাত উলটো করে ফেলা যাবে... তাই সমাধান... ঃঃ $4!\cdot 5!$।

(৮) রাফিরটা ঠিক আছে...

:)
Please Install $L^AT_EX$ fonts in your PC for better looking equations,
Learn how to write equations, and don't forget to read Forum Guide and Rules.


"When you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth." - Sherlock Holmes

User avatar
bristy1588
Posts: 92
Joined: Sun Jun 19, 2011 10:31 am

Re: পাঠ্যবইয়ের সমস্যা -০১ (Combinatorix)

Unread post by bristy1588 » Wed Dec 21, 2011 8:18 pm

Labib wrote:(১) ও (২) এ সহমত।

(৬)
মালার ক্ষেত্রে মনে হয়, ২ দিয়ে ফলাফল ভাগ করতে হয়... কারন সেটাকে ঘোরানো যায়। তাই ফলাফলঃ $\frac{7!}2$।

:)
6. no tar uttor $7!$ howa uchit. Karon je kono ekta distinct band ke $8$ vabe rotate korle all possible permutaion pawar kotha
Bristy Sikder

User avatar
bristy1588
Posts: 92
Joined: Sun Jun 19, 2011 10:31 am

Re: পাঠ্যবইয়ের সমস্যা -০১ (Combinatorix)

Unread post by bristy1588 » Wed Dec 21, 2011 8:20 pm

Amar bujhar vul thakle keo bujhai diyo
Bristy Sikder

User avatar
Abdul Muntakim Rafi
Posts: 173
Joined: Tue Mar 29, 2011 10:07 pm
Location: bangladesh,the earth,milkyway,local group.

Re: পাঠ্যবইয়ের সমস্যা -০১ (Combinatorix)

Unread post by Abdul Muntakim Rafi » Wed Dec 21, 2011 10:31 pm

লাবিব, ০ থাকা না থাকা trivial জিনিস।

৩ এর উত্তর $4^5$ হতে পারে না? কারণ ভোটার কোন প্রার্থীকে ভোট নাও দিতে পারে।

লাবিব ৬-৭ এ তুই যেটা বলতেছস বুঝি নাই। উলটে ফেলা মানে কি বলতেছস?
Man himself is the master of his fate...

User avatar
nafistiham
Posts: 829
Joined: Mon Oct 17, 2011 3:56 pm
Location: 24.758613,90.400161
Contact:

Re: পাঠ্যবইয়ের সমস্যা -০১ (Combinatorix)

Unread post by nafistiham » Wed Dec 21, 2011 10:55 pm

এখানে না ভোটের সিস্টেম দেখতিচি না ।@bristy1588

we have to consider that when it is a round table or band, the permutation has to be divided by the number of the elements.because, the permutation has no value when we change any orientation.for instance $ABC,BCA,CAB$ are same around a round table
Last edited by nafistiham on Wed Dec 21, 2011 11:13 pm, edited 1 time in total.
\[\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2 \pi i k}{n}}=0\]
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
Introduction:
Nafis Tiham
CSE Dept. SUST -HSC 14'
http://www.facebook.com/nafistiham
nafistiham@gmail

Post Reply