বুঝি নাই-০১ :(

For students of class 11-12 (age 16+)
User avatar
sm.joty
Posts: 327
Joined: Thu Aug 18, 2011 12:42 am
Location: Dhaka

বুঝি নাই-০১ :(

Unread post by sm.joty » Tue Feb 21, 2012 12:35 am

এই টপিকের উদ্দেশ্য হল আমি যেসব জিনিস বুঝি নাই সেগুলা বুঝাইয়া দেয়া। আমারা অনেকেই ইংলিশ বই পড়তে পড়তে অনেক ঝামেলায় পরি, তখন বুঝায়া দেয়ার কেউ থাকে না। চিন্তা করলাম এত বড় একটা ফোরাম থাকতে আর এত পোলাপান থাকতে আমি কিছু বুঝলাম না এইটা হইল...... তাই এই পোস্ট। :D এখন থেকে নিয়মিত দেয়া হবে। :D

এখন কেউ একজন তারাতাড়ি উত্তর দেন...... :D

১.Advance Problem -51 from 101 problem in Algebra
problem
Evaluate
$\binom{2000}{2}+\binom{2000}{5}+\binom{2000}{8}+\cdots\cdots+\binom{2000}{2000}$
solution
Let $f(x)=(1+x)^{2000}=\sum_{k=0}^{2000}\binom{2000}{k}x^k$
let $\omega=\frac{(-1+\sqrt{3i})}{2}$
now,
$3(\binom{2000}{2}+\binom{2000}{5}+\binom{2000}{8}+\cdots\cdots+\binom{2000}{2000})
=f(1)+\omega f(\omega)+\omega^2 f(\omega^2)$
$=calculation$
$=2^{2000}-1$
বুঝলাম না,
$3(\binom{2000}{2}+\binom{2000}{5}+\binom{2000}{8}+\cdots\cdots+\binom{2000}{2000})
=f(1)+\omega f(\omega)+\omega^2 f(\omega^2)$
কেন হইল ???????? কিভাবে ???

২.Problem: 1-67 from Theory of Numbers
problem
prove that,
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+............+\frac{1}{n}$
is not an integer. for $n>1$.
solution
Let, $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+............+\frac{1}{n}$
let, $m$ be the largest integer such that $2^m\leq n$
and let $P$ be the product of all the odd numbers not exceeding $n$. Then each terms in $2^{m-1}P$S is an integer except for $2^{m-1}P(1/2^m)$ hence $S$ can not be an integer.
পুরা মাথার ব্যাপক উপর দিয়া গেল :(

Moderator's note: Is it clear now?
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........

MATHPRITOM
Posts: 190
Joined: Sat Apr 23, 2011 8:55 am
Location: Khulna

Re: বুঝি নাই-০১ :(

Unread post by MATHPRITOM » Tue Feb 21, 2012 3:19 am

$ f(x)=(1+x)^{2000} $.
$ \Rightarrow f(x)=\dbinom{2000}{0} x^0+ \dbinom{2000}{1}x^1+\dbinom{2000}{2}x^2+...+\dbinom{2000}{2000}x^{2000} $.
when x=1;
$ f(1)=(1+1)^{2000}=\dbinom{2000}{0} 1^0+ \dbinom{2000}{1}1^1+\dbinom{2000}{2}1^2+...+\dbinom{2000}{2000}1^{2000} $. ...(1)

when x=w,
$ f(w)=(1+w)^{2000}=\dbinom{2000}{0} w^0+ \dbinom{2000}{1}w^1+\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{3}w^3+\dbinom{2000}{4}w^4...+\dbinom{2000}{2000}w^{2000} $.
$=\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{1}w+\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{3}+\dbinom{2000}{4}w+...+\dbinom{2000}{2000}w^{2}.$ $[w^{3n}=1,w^{3n+1}=w,w^{3n+2}=w^2] $.
$=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)+ (\dbinom{2000}{1}w+

\dbinom{2000}{4}w+ \dbinom{2000}{7}w+...)$+$(\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{5}w^2+\dbinom{2000}{8}w^2+...)$
$=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)w^2$.
$\Rightarrow wf(w)=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)w+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w^2+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)w^3 $.
$\Rightarrow wf(w)=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)w+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w^2+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)$.

MATHPRITOM
Posts: 190
Joined: Sat Apr 23, 2011 8:55 am
Location: Khulna

Re: বুঝি নাই-০১ :(

Unread post by MATHPRITOM » Tue Feb 21, 2012 3:21 am

দোস্ত, বাকি টুকু বুঝে বুঝে নিজে কর,......অনেক বড়ো LATEX , আর লিখতে পারলাম না।

User avatar
*Mahi*
Posts: 1175
Joined: Wed Dec 29, 2010 12:46 pm
Location: 23.786228,90.354974
Contact:

Re: বুঝি নাই-০১ :(

Unread post by *Mahi* » Tue Feb 21, 2012 11:47 am

MATHPRITOM wrote:$ f(x)=(1+x)^{2000} $.
$ \Rightarrow f(x)=\dbinom{2000}{0} x^0+ \dbinom{2000}{1}x^1+\dbinom{2000}{2}x^2+...+\dbinom{2000}{2000}x^{2000} $.
when x=1;
$ f(1)=(1+1)^{2000}=\dbinom{2000}{0} 1^0+ \dbinom{2000}{1}1^1+\dbinom{2000}{2}1^2+...+\dbinom{2000}{2000}1^{2000} $. ...(1)

when x=w,
$ f(w)=(1+w)^{2000}=\dbinom{2000}{0} w^0+ \dbinom{2000}{1}w^1+\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{3}w^3+\dbinom{2000}{4}w^4...+\dbinom{2000}{2000}w^{2000} $.
$=\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{1}w+\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{3}+\dbinom{2000}{4}w+...+\dbinom{2000}{2000}w^{2}.$ $[w^{3n}=1,w^{3n+1}=w,w^{3n+2}=w^2] $.
$=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)+ (\dbinom{2000}{1}w+

\dbinom{2000}{4}w+ \dbinom{2000}{7}w+...)$+$(\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{5}w^2+\dbinom{2000}{8}w^2+...)$
$=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)w^2$.
$\Rightarrow wf(w)=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)w+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w^2+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)w^3 $.
$\Rightarrow wf(w)=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)w+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w^2+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)$.
Why don't you use the summation notation?
Please read Forum Guide and Rules before you post.

Use $L^AT_EX$, It makes our work a lot easier!

Nur Muhammad Shafiullah | Mahi

MATHPRITOM
Posts: 190
Joined: Sat Apr 23, 2011 8:55 am
Location: Khulna

Re: বুঝি নাই-০১ :(

Unread post by MATHPRITOM » Tue Feb 21, 2012 3:22 pm

I wrote every line details for making all the things clear.

User avatar
sm.joty
Posts: 327
Joined: Thu Aug 18, 2011 12:42 am
Location: Dhaka

Re: বুঝি নাই-০১ :(

Unread post by sm.joty » Sat Feb 25, 2012 1:05 am

হুম, বুঝসি... :D
কিন্তু ২য় সমস্যা টার উত্তর কেউ তো দিল না...। :(
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........

User avatar
nafistiham
Posts: 829
Joined: Mon Oct 17, 2011 3:56 pm
Location: 24.758613,90.400161
Contact:

Re: বুঝি নাই-০১ :(

Unread post by nafistiham » Sat Feb 25, 2012 6:25 pm

sm.joty wrote:হুম, বুঝসি... :D
কিন্তু ২য় সমস্যা টার উত্তর কেউ তো দিল না...। :(
আমি অনেক বার পড়লাম, কিন্তু কিছুই কিনারা পাইলাম না । :oops: :cry:
\[\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2 \pi i k}{n}}=0\]
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
Introduction:
Nafis Tiham
CSE Dept. SUST -HSC 14'
http://www.facebook.com/nafistiham
nafistiham@gmail

MATHPRITOM
Posts: 190
Joined: Sat Apr 23, 2011 8:55 am
Location: Khulna

Re: বুঝি নাই-০১ :(

Unread post by MATHPRITOM » Sun Feb 26, 2012 12:56 pm

২ টা আমিও অনেক বার পড়ছি ।। এবং অনেক বারই মাথার উপর দিয়ে গেছে ...

MATHPRITOM
Posts: 190
Joined: Sat Apr 23, 2011 8:55 am
Location: Khulna

Re: বুঝি নাই-০১ :(

Unread post by MATHPRITOM » Sun Feb 26, 2012 12:58 pm

২য় টার জন্য bossদের সাহায্য চাইতেছি ।।

sourav das
Posts: 461
Joined: Wed Dec 15, 2010 10:05 am
Location: Dhaka
Contact:

Re: বুঝি নাই-০১ :(

Unread post by sourav das » Sat Mar 31, 2012 10:28 pm

Is it clear now???(See the solution again)
You spin my head right round right round,
When you go down, when you go down down......
(-$from$ "$THE$ $UGLY$ $TRUTH$" )

Post Reply