A Divisibility Problem!!!

[Shihab]

This is my first post & sorry for not LaTexing the problem.


Let $a$ and $b$ be positive integer such that $ab+1$ divides $a^2+b^2$. Show that
$\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ is the square of a number.

[Phlembac Adib Hasan]

এইটা 1988র IMO-6. এঞ্জেল তার বইয়ে এইটারে নিয়ে বহুত জল ঘোলা করসে, কঠিন কঠিন বলে চিল্লাপাল্লা করতে করতে মাথাব্যাথা তুলে ফেলসে। তবে আমার মনে হইসে (মানে নিতান্তই আমার ব্যক্তিগত অভিমত) বর্তমানে এর চেয়েও কঠিন প্রবলেম আইএমও-তে দেয়। উদাহরণ- 2011/6. জ্যামিতির হলেও ভীষণ খচ্চর প্রবলেম।
আর এই আটাশি সালের প্রবলেমটা জোশ। বিশেষ করে এইটার জন্যই Vieta Jumping নামে এত সুন্দর একটা টেকনিক সৃষ্টি হইসে।

[Shihab]

আসলে সমস্যাটা পাইছিলাম আমি Divisibility এর একটা PDF নোটের মধ্যে। এইটা যে IMO এর প্রবলেম জানা ছিল না।
তবে Solution টা আমার জানা নেই।

[harrypham]

You can see the solution in here: http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping

[Masum]

এইটা 1988র IMO-6. এঞ্জেল তার বইয়ে এইটারে নিয়ে বহুত জল ঘোলা করসে, কঠিন কঠিন বলে চিল্লাপাল্লা করতে করতে মাথাব্যাথা তুলে ফেলসে। তবে আমার মনে হইসে (মানে নিতান্তই আমার ব্যক্তিগত অভিমত) বর্তমানে এর চেয়েও কঠিন প্রবলেম আইএমও-তে দেয়। উদাহরণ- 2011/6.

The fact is that he mentioned the fact during 1988. Not today. Today we have many advanced techniques developed those were not available or popular then. For example, LTE, Zsigmondy's theorem, Thue's theorem etc.