A Divisibility Problem!!!

For students of class 11-12 (age 16+)
Shihab
Posts: 11
Joined: Mon Dec 26, 2011 1:11 am

A Divisibility Problem!!!

Unread post by Shihab » Tue Dec 25, 2012 8:34 pm

This is my first post & sorry for not LaTexing the problem. :oops:


Let $a$ and $b$ be positive integer such that $ab+1$ divides $a^2+b^2$. Show that
$\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ is the square of a number.
Last edited by *Mahi* on Wed Dec 26, 2012 10:34 am, edited 1 time in total.
Reason: LaTeXed
God has made the integers, all the rest is the work of man.
-Leopold Kronecker

User avatar
Phlembac Adib Hasan
Posts: 1016
Joined: Tue Nov 22, 2011 7:49 pm
Location: 127.0.0.1
Contact:

Re: A Divisibility Problem!!!

Unread post by Phlembac Adib Hasan » Tue Dec 25, 2012 9:31 pm

এইটা 1988র IMO-6. এঞ্জেল তার বইয়ে এইটারে নিয়ে বহুত জল ঘোলা করসে, কঠিন কঠিন বলে চিল্লাপাল্লা করতে করতে মাথাব্যাথা তুলে ফেলসে। তবে আমার মনে হইসে (মানে নিতান্তই আমার ব্যক্তিগত অভিমত) বর্তমানে এর চেয়েও কঠিন প্রবলেম আইএমও-তে দেয়। উদাহরণ- 2011/6. জ্যামিতির হলেও ভীষণ খচ্চর প্রবলেম।
আর এই আটাশি সালের প্রবলেমটা জোশ। বিশেষ করে এইটার জন্যই Vieta Jumping নামে এত সুন্দর একটা টেকনিক সৃষ্টি হইসে।
Welcome to BdMO Online Forum. Check out Forum Guides & Rules

Shihab
Posts: 11
Joined: Mon Dec 26, 2011 1:11 am

Re: A Divisibility Problem!!!

Unread post by Shihab » Tue Dec 25, 2012 10:30 pm

আসলে সমস্যাটা পাইছিলাম আমি Divisibility এর একটা PDF নোটের মধ্যে। এইটা যে IMO এর প্রবলেম জানা ছিল না। :oops:
তবে Solution টা আমার জানা নেই।
God has made the integers, all the rest is the work of man.
-Leopold Kronecker

User avatar
harrypham
Posts: 12
Joined: Wed Aug 31, 2011 12:31 pm
Location: Vietnam
Contact:

Re: A Divisibility Problem!!!

Unread post by harrypham » Thu Aug 08, 2013 5:37 am

You can see the solution in here: http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping

User avatar
Masum
Posts: 592
Joined: Tue Dec 07, 2010 1:12 pm
Location: Dhaka,Bangladesh

Re: A Divisibility Problem!!!

Unread post by Masum » Thu Dec 19, 2013 7:16 pm

Phlembac Adib Hasan wrote:এইটা 1988র IMO-6. এঞ্জেল তার বইয়ে এইটারে নিয়ে বহুত জল ঘোলা করসে, কঠিন কঠিন বলে চিল্লাপাল্লা করতে করতে মাথাব্যাথা তুলে ফেলসে। তবে আমার মনে হইসে (মানে নিতান্তই আমার ব্যক্তিগত অভিমত) বর্তমানে এর চেয়েও কঠিন প্রবলেম আইএমও-তে দেয়। উদাহরণ- 2011/6.
The fact is that he mentioned the fact during 1988. Not today. :) Today we have many advanced techniques developed those were not available or popular then. For example, LTE, Zsigmondy's theorem, Thue's theorem etc.
Last edited by Masum on Thu Dec 19, 2013 7:20 pm, edited 1 time in total.
Reason: For some reason, I can not quote the text properly
One one thing is neutral in the universe, that is $0$.

Post Reply