কম্বিনেটরিক্স

[Abdul Muntakim Rafi]

আমাদের বই এর একটা প্রশ্ন।

একটা নৌকার নাবিকদল ৮ জন লোক দ্বারা ঘটিত। যাদের মাঝে ৩ জন কেবল এক পাশে দাঁড় টানতে পারে। ২ জন কেবল অপর পাশে দাঁড় টানতে পারে। নাবিকদেরকে মোট কত প্রকারে সাজানো যেতে পারে?

কেমনে সল্ভ করবা/করবেন বইল/বইলেন।

পিএসঃ আমার বর্তমান উত্তর গতবছরের উত্তরের সাথে মিলতেছেনা।

[Phlembac Adib Hasan]

ধরি $A,B,C$ শুধু বামে আর $D,E$ শুধু ডানে দাঁড় টানতে পারে। $A,B,C$- এই তিন জনকে সাজানো যেতে পারে $3!$ ভাবে আর এর প্রত্যেকটির জন্য $D,E$-কে অন্য পাশে সাজানো যেতে পারে $2!$ সংখ্যক ভাবে। অতএব মোট সংখ্যা $2!\times 3!$. এবার বাকি তিনজন সব্যসাচী নাবিককে সাজানোর পালা। $A,B,C$ এই নাবিক তিনজনের আগে, মাঝে ও পরে ফাঁকা স্থান আছে মোট $4$ টি আর $D,E$-র মাঝে আছে $3$ টি। সুতরাং প্রথম সব্যসাচী নাবিককে বসানোর জন্য চয়েস আছে $7$ টি, এর প্রতিটির জন্য দ্বিতীয় সব্যসাচী নাবিককে বসানোর চয়েস আছে $8$ টি... এভাবে আগের মতো ফাঁকা স্থান ধরে হিসাব। সুতরাং মোট সাজানো সম্ভব $3!\times 2!\times 7\times 8\times 9$.

[Abdul Muntakim Rafi]

হুম। ধন্যবাদ। সুন্দর সমাধান।

বাই দা ওয়ে, আমিও করে ফেলছি।

$3\backslash 5\longrightarrow 3!\times 5!$

$4\backslash 4\longrightarrow C^3_2\times 4!\times 4!$

$5\backslash 3\longrightarrow C^3_1\times 5!\times 3!$

$6\backslash 2\longrightarrow 6!\times 2!$
---------------------------------------
$6048$

[SANZEED]

Well,we assumed here that $3$ sailors can row on left and $2$ on right...what if we assume that $3$ can row on right and $2$ on left instead? Shouldn't we take that case in account?

[nafistiham]

Well,we assumed here that $3$ sailors can row on left and $2$ on right...what if we assume that $3$ can row on right and $2$ on left instead? Shouldn't we take that case in account?

I agree

and should we assume that the boat has a definite left side and a definite right side.
It is not a ship. right ?
so, I think we just should assume that $3$ sailors can work better on there left/right side and $2$ sailors can work better on there right/left side

[Phlembac Adib Hasan]

Well,we assumed here that $3$ sailors can row on left and $2$ on right...what if we assume that $3$ can row on right and $2$ on left instead? Shouldn't we take that case in account?

I agree
and should we assume that the boat has a definite left side and a definite right side.
It is not a ship. right ?
so, I think we just should assume that $3$ sailors can work better on there left/right side and $2$ sailors can work better on there right/left side

Definite left/right side-এর অংশটুকু প্রশ্নেই সম্ভবত দেয়া আছে।

যাদের মাঝে ৩ জন কেবল এক পাশে দাঁড় টানতে পারে।

এই পাশটা নির্দিষ্ট। এই তিন জন হয় শুধু বাম বা শুধু ডানে দাঁড় টানতে পারে। কিন্তু একই 'পরিবেশে' দুটি একসাথে সত্যি হতে পারে না। কারণ তাহলে তো এরাও সব্যসাচী হয়ে যায়। তাই WLOG আমি এরা বামে দাঁড় টানবে বলে ধরে নিয়েছি।

[SANZEED]

এই পাশটা নির্দিষ্ট। এই তিন জন হয় শুধু বাম বা শুধু ডানে দাঁড় টানতে পারে। কিন্তু একই 'পরিবেশে' দুটি একসাথে সত্যি হতে পারে না। কারণ তাহলে তো এরাও সব্যসাচী হয়ে যায়। তাই WLOG আমি এরা বামে দাঁড় টানবে বলে ধরে নিয়েছি।

Wait,let A,B,C,D,E,F,G,H be the sailors.Why are you only considering the first of the following two cases and leaving the second?
A,B,C on left; D,E on right; F,G,H on both.
A,B,C on right; D,E on left; F,G,H on both.\
The sailors are distinct so each of the cases above has its own arrangements,isn't it true?

[Phlembac Adib Hasan]

Wait,let A,B,C,D,E,F,G,H be the sailors.Why are you only considering the first of the following two cases and leaving the second?
A,B,C on left; D,E on right; F,G,H on both.
A,B,C on right; D,E on left; F,G,H on both.\
The sailors are distinct so each of the cases above has its own arrangements,isn't it true?

একই 'পরিবেশে' দুটি একসাথে সত্যি হতে পারে না।

You should realize the meaning of 'circumstances'. It's not something to be chosen, anyway.