## Prove equality: floor function

For students of class 11-12 (age 16+)
Moon
Site Admin
Posts: 751
Joined: Tue Nov 02, 2010 7:52 pm
Location: Dhaka, Bangladesh
Contact:

### Prove equality: floor function

Prove that for any positive integer $n$,
$\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\rfloor =\lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor$
"Inspiration is needed in geometry, just as much as in poetry." -- Aleksandr Pushkin

Please install LaTeX fonts in your PC for better looking equations,
learn how to write equations, and don't forget to read Forum Guide and Rules.

kamrul2010
Posts: 120
Joined: Wed Dec 08, 2010 2:35 am
Location: Dhaka,Bangladesh
Contact:

### Re: Prove equality: floor function

সুন্দর!
If computers have no doors or fences, who needs Windows and Gates?

Masum
Posts: 592
Joined: Tue Dec 07, 2010 1:12 pm
Location: Dhaka,Bangladesh

### Re: Prove equality: floor function

Moon wrote:Prove that for any positive integer $n$,
$\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\rfloor =\lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor$
$n=1,L.H.S=2=[\sqrt 6]=R.H.S$
$n>1,$three cases:
$1.n=s^2=>[\sqrt n+\sqrt {n+1} ]=s+s=2s=[ \sqrt {4s^2+2} ]=[\sqrt {4n+2}]$
$2.n+1=t^2,$ same as $1,$

$3.$ $s^2<n,n+1<(s+1)^2$
Then both side equals to $2s+1$
One one thing is neutral in the universe, that is $0$.

AntiviruShahriar
Posts: 125
Joined: Mon Dec 13, 2010 12:05 pm
Location: চট্রগ্রাম,Chittagong
Contact:

### Re: Prove equality: floor function

$1.n=s^2=>[\sqrt n+\sqrt {n+1} ]=s+s=2s=[ \sqrt {4s^2+2} ]=[\sqrt {4n+2}]$
ভাইয়া, $n=s^2$ হইলে $n+1=s^2+1$............ $[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}] = s+ \sqrt{s+1} \neq 2s$ হয় না???$[s>0]$
বুঝলাম না লাইন টা বুঝায়া দেন...।
post টা delete ও তো করা যায় না ।...।।ভাইয়া আপনে কি $\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \rfloor =\lfloor s+ \sqrt{s+1} \rfloor=2s$ বুঝাইছেন? স্যরি খেয়াল করি নাই

kamrul2010
Posts: 120
Joined: Wed Dec 08, 2010 2:35 am
Location: Dhaka,Bangladesh
Contact:

### Re: Prove equality: floor function

ঠিকই আছে!

উদাহরণস্বরুপ, ধরা যাক, $s^2$ এর স্থানে তুমি ২৫ বসাইতেসো! তাইলে কি আসবে খেয়াল করো!

$s^2=25$ সুতরাং, $n=s^2$ বসাইলে আমরা পাই,

$\lfloor \sqrt{25}+\sqrt{25+1}\rfloor = \lfloor { 5 + 5.1} \rfloor\ = 10 = 2s$
If computers have no doors or fences, who needs Windows and Gates?

AntiviruShahriar
Posts: 125
Joined: Mon Dec 13, 2010 12:05 pm
Location: চট্রগ্রাম,Chittagong
Contact:

### Re: Prove equality: floor function

ব্র্যাকেট([]) টা দেইখ্যাই ভয় পাইয়া গেসিলাম(ফ্লোর থেইক্কা ব্র্যাকেট হইয়া গেসিলো তাই)। আচ্ছা ভাইয়া কয়েক মিনিট পর আমি এই পোস্ট আর ডিলিট করতে পারি না কেন??? ওই পোস্ট টা করার পর যখন জিনিস টা বুঝতে পারি তখন ওইটা ডিলিট করতে চাইসিলাম।পারি নাই