BdMO Online Forum

Prove that for any positive integer $n$,
\[ \lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\rfloor =\lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor\]

সুন্দর!

Moon wrote:Prove that for any positive integer $n$,
\[ \lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\rfloor =\lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor\]

500/223

$n=1,L.H.S=2=[\sqrt 6]=R.H.S$
$n>1,$three cases:
$1.n=s^2=>[\sqrt n+\sqrt {n+1} ]=s+s=2s=[ \sqrt {4s^2+2} ]=[\sqrt {4n+2}]$
$2.n+1=t^2,$ same as $1,$

$3.$ $s^2<n,n+1<(s+1)^2$
Then both side equals to $ 2s+1$

$1.n=s^2=>[\sqrt n+\sqrt {n+1} ]=s+s=2s=[ \sqrt {4s^2+2} ]=[\sqrt {4n+2}]$

ভাইয়া, $n=s^2$ হইলে $n+1=s^2+1$............ $ [\sqrt{n}+\sqrt{n+1}] = s+ \sqrt{s+1} \neq 2s$ হয় না???$[s>0]$
বুঝলাম না লাইন টা বুঝায়া দেন...।
post টা delete ও তো করা যায় না ।...।।ভাইয়া আপনে কি $ \lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \rfloor =\lfloor s+ \sqrt{s+1} \rfloor=2s$ বুঝাইছেন? স্যরি খেয়াল করি নাই

ঠিকই আছে!

উদাহরণস্বরুপ, ধরা যাক, $ s^2 $ এর স্থানে তুমি ২৫ বসাইতেসো! তাইলে কি আসবে খেয়াল করো!

$ s^2=25 $ সুতরাং, $ n=s^2 $ বসাইলে আমরা পাই,

\[ \lfloor \sqrt{25}+\sqrt{25+1}\rfloor = \lfloor { 5 + 5.1} \rfloor\ = 10 = 2s \]

ব্র্যাকেট([]) টা দেইখ্যাই ভয় পাইয়া গেসিলাম(ফ্লোর থেইক্কা ব্র্যাকেট হইয়া গেসিলো তাই)। আচ্ছা ভাইয়া কয়েক মিনিট পর আমি এই পোস্ট আর ডিলিট করতে পারি না কেন??? ওই পোস্ট টা করার পর যখন জিনিস টা বুঝতে পারি তখন ওইটা ডিলিট করতে চাইসিলাম।পারি নাই