Geometry Marathon v1.0

[Hasib]

trying last prob! May b wont solve it...

[sourav das]

Draw three parallel lines $DE,MN,PQ$ through the inercenter of $\Delta ABC.$
If $S$ is the inercenter of $\Delta ABC$ then, \[\angle SBD= \angle SBM, \quad \angle MSB= \angle BSD\]
So $MSBD$ is a rombos. Therefore,$SD=BD$
In this way, $SP=PC$ $\therefore SP+SD+PD=a$
In this way , we can prove that, If $S$ is the inercenter, than the statement is true.

Now, If the inercenter is $I$ and $S$ is not the inercenter than, draw three parallel line $D'E',M'N',P'Q'$ segment through $S$ such that,
$D{}'E{}'\left \| DE \right \|AB$
$M{}'N{}'\left \| MN \right \|BC$
$P{}'Q{}'\left \| PQ \right \|CA$
$\therefore \Delta IDP\sim \Delta SD{}'P{}'$
\[\frac{ID}{SD'}= \frac{IP}{SP{}'}= \frac{DP}{D{}'{P}'}= K\]
\[ID+IP+DP=K\left ( SD{}' +SP{}'+D{}'P{}'\right ) \Rightarrow a= K.a\Rightarrow K=1\]
$\therefore \Delta IDP\cong \Delta SD'P'$
$\therefore S$ must be on$MN.$

In this way we can also prove that, $S$ must be on $DE$
and $PQ.$ That means $S$ is the inercenter of $\Delta ABC.$
I am really sorry as i can't write properly, i can't send any figure.

Please confirm me first that i am right or wrong, than i can give an interesting problem.

[zadid xcalibured]

I like this marathon.I am so glad that i am posting in the same marathon as our predecessors.
Why don't we run this marathon?

[skb]

চিত্র.jpg (35.51KiB)Viewed 2612 times

সমস্যা ৪-
$DBGP$ এবং $PEFC$ ট্রাপিজিয়ামে, $DB = PF, PG = EC$ এবং তাদের চার কোণ সমান, তাই এরা সর্বসম
তাই $BF + FG = CG + FG$ , তাই $BF = CG = DP = PE$ এবং $DB = CE = PF = PG$
একইভাবে $AMPE$ এবং $CGPN$ সর্বসম,
তাই $PN = PE = AM = CG$ এবং $AN = CE = PM = PG$
একইভাবে $ANPD$ এবং $MPFB$ সর্বসম,
তাই $PM = PD = AN = BF$ এবং $AM = DB = PF = PN$
এইখান থেকে দেখা যায় যে প্রতিটা সামান্তরিকের চার বাহু সমান অর্থাৎ রম্বস
এখন রম্বসের কর্ণগুলা যোগ করলে দেখা যাবে তা $\angle A, \angle B, \angle C$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে [ কর্ণদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন ছোট ত্রিভুজ সর্বসম দেখিয়ে]
অর্থাৎ ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলা $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে, তাই $P$ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র।