আমার মাথায় আসলে কিছুই নাই । এই সহজ সমস্যাটা সমাধান করতে পারি নাই।
Problem :
suppose that \[\small gcd(m,n)=1\] prove that the greatest common divisor of \[\small (m+2n)\] and \[\small (n+2m)\] is either 1 or 3.
a very easy problem but I can't solve
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........
Re: a very easy problem but I can't solve
Try using $\gcd(a,b)=\gcd(a,a+b)=\gcd(a,a-b)$ etc.
"Everything should be made as simple as possible, but not simpler." - Albert Einstein
-
Phlembac Adib Hasan
- Posts:1016
- Joined:Tue Nov 22, 2011 7:49 pm
- Location:127.0.0.1
- Contact:
Re: a very easy problem but I can't solve
Another proof:
Let $m+2n=p,2m+n=q,gcd(p,q)=g $
If $g=1$, then we're done.If not,
Then $p=ag,q=bg$ with $(a,b)=1$
$\Rightarrow p+q=g(a+b)=3(m+n)$
As $(m,n)=1$, it implies if $g>1$ then it's $3$.
Let $m+2n=p,2m+n=q,gcd(p,q)=g $
If $g=1$, then we're done.If not,
Then $p=ag,q=bg$ with $(a,b)=1$
$\Rightarrow p+q=g(a+b)=3(m+n)$
As $(m,n)=1$, it implies if $g>1$ then it's $3$.
Welcome to BdMO Online Forum. Check out Forum Guides & Rules
Re: a very easy problem but I can't solve
wow, great one. 
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........