Help to prove!

[sakibtanvir]

A number is made with $3^{n}$ same digit.Prove that it is divisible by $3^{n}$ .
(Example:$3 \mid 888$,$9\mid222222222$.)
That is, we have to prove that $10^{3^{n}}\equiv1(mod3^{n+2})$.But how?

[Phlembac Adib Hasan]

ছেলে, LTE(Lifting The Exponent) শিখো। আল্লাহ তোমার ভালো করবে।
এলটিই দিয়ে এটা এক লাইনে শেষ। আর এটা ছাড়া চাইলে ইন্ডাকশন দিয়া কর। (আসলে অমনে করলে এলটিই-র প্রুফই নৈতিকভাবে করা হয় )
Notice $3^3|10^3-1$
From inductive hypothesis, assume $3^{n+2}|10^{3^n}-1$
Now note that $10^{3^{n+1}}-1=(10^{3^n}-1)(10^{2\cdot 3^n}+10^{3^n}+1)$.
Also remember $3|10^{2\cdot 3^n}+10^{3^n}+1$
So $3^{n+3}|10^{3^{n+1}}-1$.

[sakibtanvir]

Thanks to inform me about LTE thing!!Thaks a lot !!Here is my first solution using LTE.
$v_{3}(10^{3^{n}}-1)=v_{3}(10^{3}-1)+v_{3}(3^{n-1})=3+n-1=n+2.$

[Masum]

এতদিন পরে দেইখা শান্তি লাগলো। এখন পোলাপান তাইলে এদের মাহাত্ম্য বুঝছে!!

খালি কি এইটাই? সাথে আর কি কি আছে? জানতে ইচ্ছা হইলো। আমি কয়েকটা সাজেশন দিতে পারি চাইলে।

[SANZEED]

এতদিন পরে দেইখা শান্তি লাগলো। এখন পোলাপান তাইলে এদের মাহাত্ম্য বুঝছে!!

খালি কি এইটাই? সাথে আর কি কি আছে? জানতে ইচ্ছা হইলো। আমি কয়েকটা সাজেশন দিতে পারি চাইলে।

অপেক্ষা করার কি দরকার ছিল? এখন দিয়ে দেন না।

[Masum]

Vieta Jumping, Legendre's Theorem, Fibonacci-Brahmagupta Identity, Fermat-Euler's 4n+1 theorem, Quadratic Residue, Zsigmondy's Theorem, Cyclotomic polynomial, Multiplicative Function Theorem, Gaussian Integers, Thue's Lemma & Theorem.
Bertrand's Theorem, Dirichlet's Theorem, Erdos's Some(:P ) Theorems, Primitive Roots, Bonse's Inequality(and its improvements), Exponent GCD Lemma can also be included I think, they have elementary solutions.
I think some links would work better, and there are some more used highly I can't remember just now.