APMO ! How Nice

[Nadim Ul Abrar]

Let $a,b,c$ be the lengths of the sides of a triangle. Prove that
$\sqrt{a+b−c}+\sqrt{b+c−a}+\sqrt{c+a−b} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$.

(1996)

[*Mahi*]

Hint:

Ravi's transformation, and then QM-AM inequality.

[SANZEED]

Ravi's transformation, and then QM-AM inequality.

Well,just my solution used the same thing Mahi vai suggested.
As $a,b,c$ are the sides of a triangle, we can assume that $a=y+z,b=z+x,c=x+y$. Thus $a+b-c=2z,b+c-a=2x,c+a-b=2y$. Now the inequality becomes $\sqrt {2x}+\sqrt {2y}+\sqrt {2z}\leq \sqrt {x+y}+\sqrt {y+z}+\sqrt {z+x}$.
This time apply the QM-HM inequality,
$\sqrt {2x}+\sqrt {2y}+\sqrt {2z}=\frac{\sqrt {2x}+\sqrt {2y}}{2}+\frac{\sqrt {2y}+\sqrt {2z}}{2}+\frac{\sqrt {2z}+\sqrt {2x}}\leq \sqrt {\frac{2x+2y}{2}}+\sqrt {\frac{2y+2z}{2}}+\sqrt {\frac{2z+2x}{2}}=\sqrt {x+y}+\sqrt {y+z}+\sqrt {z+x}$.

[Phlembac Adib Hasan]

Let $a,b,c$ be the lengths of the sides of a triangle. Prove that
$\sqrt{a+b−c}+\sqrt{b+c−a}+\sqrt{c+a−b} \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$.

(1996)

কী? এইটা এপিএমও? হায়রে আবার আমার নিজের বানানো অঙ্ক বেদখল দিসে।

[*Mahi*]

This time apply the QM-HM inequality,
$\cdots \frac{\sqrt {2x}+\sqrt {2y}}{2}+\frac{\sqrt {2y}+\sqrt {2z}}{2}+\frac{\sqrt {2z}+\sqrt {2x}}2 \leq \sqrt {\frac{2x+2y}{2}}+\sqrt {\frac{2y+2z}{2}}+\sqrt {\frac{2z+2x}{2}} \cdots$

Actually it is QM-AM, not QM-HM (there isn't any use of harmonic mean here).

কী? এইটা এপিএমও? হায়রে আবার আমার নিজের বানানো অঙ্ক বেদখল দিসে।

আহারে, এইটা তোর জন্মের আগের না পরের?

[Phlembac Adib Hasan]

কী? এইটা এপিএমও? হায়রে আবার আমার নিজের বানানো অঙ্ক বেদখল দিসে।

আহারে, এইটা তোর জন্মের আগের না পরের?

আগের।
ধুর, আর বিশটা বছর আগে ক্যান যে জন্ম হইল না