DIGIT

[tushar7]

Find the last three digits of $1002^{209}$.

try to use eulers toient theorem

[AntiviruShahriar]

eulers toient theorem দিয়া এইটা হবে কি?????হইলে বলেন ভাই...। ওইখানে সহমৌলিকতার কথা আছে......। এইখানে ১০০২বা ২ কোনটাই ১০০০ এর সহমৌলিক নয়...।[/ hide]

[AntiviruShahriar]

eulers toient theorem দিয়া এইটা হবে কি?????হইলে বলেন ভাই...। ওইখানে সহমৌলিকতার কথা আছে......। এইখানে $1002$বা $2$ কোনটাই $1000$ এর সহমৌলিক নয়...। আমার একটা উত্তর আসছে এইরকম $512$...। ঠিক আছে???? আমি প্রথমে বাইনমিয়াল দিয়া $(1000+2)^x$ $\equiv$ $2^x$
ব্যবহার করসি। তারপর $2^{10}=1024$ থেকে আস্তে আস্তে গিয়েছি...।[বাংলা নিয়মে হাহা]

[tushar7]

try to break $1000$ into two pieces

[tushar7]

NOTE that $1000=8.125$

[AntiviruShahriar]

NOTE that $1000=8.125$

hide অংশ টা দেখেছ ভাইয়া??? $1000$ কে আমি সরাসরি বাদ দিয়েছি...। আমার উত্তর টা ঠিক আছে???

[tushar7]

i didnt get how you did it ........( confusing )

[AntiviruShahriar]

binomial থেকে $(1000+2)^x$ $\equiv$ $2^x$
কারণ, $1000($ শেষ পদ বাদে বাকি পদ$)+2^x$.

[tushar7]

yeah i got that ..but how did you got 2^209?

[AntiviruShahriar]

$2^{10}$ $\equiv$ $24$ $\equiv$ $3 \cdot 2^3$ $(mod 1000)$........................[1]
$2^{40 \cdot 5} \cdot 2^{10}$ $\equiv$ $776^5 \cdot 24$ $(mod 1000)$.
$2^{210}$ $\equiv$ $1024$ $(mod 1000)$.
$2^{209}$ $\equiv$ $1024 \cdot \frac{1}{2}$ $(mod 1000)$.
Ans: $512$.............[$2^{40}$ ta alada vaabe bair korsi...]