Gopalgang higher hisec 2011 08

[Labib]

Tiham, That's what I was talking about. But could you explain the solution a bit more...
Again, Would love it if it's in Bangla...
Shishir vai, but the problem in my zone had the word "Sum" in it...

[amlansaha]

বাংলা ভার্সনটা দিলে মনে হয় ভাল হয়।

[Labib]

কোনো সেট $S=\left \{1,2,3,....,441\right \}$ এর একটি উপসেট $X$, যার কোন দুটি উপাদানের যোগফল $21^2$ বা তার থেকে ছোট কোনো পূর্ণবর্গ নয়...
$X$ এর সর্বোচ্চ উপাদান্সঙ্খ্যা কত?

[nafistiham]

শিশির ভাই যেই সমস্যাটা দিয়েছেন সেটার সমাধান সম্ভবতঃ এরকম
বলা আছে $S$ সেটে $১$ থেকে $৪৪১$ পর্যন্ত সকল স্বাভাবিক সংখ্যা রয়েছে । সুতরাং এতে পূর্ণবর্গ রয়েছে $২১$ টি । এই $২১$ টি সংখ্যার একটি $X$ সেটে থাকতে পারে আর বাকি $৪৪১-২১=৪২০$ টি সংখ্যাই থাকতে পারে। সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে $৪২১$

তবে সম্ভবতঃ লাবিব ভাইয়ার সমস্যাটির পূর্ণ সমাধান করতে পারিনি । যতটুক গিয়েছি তা এরকম ।
সবচেয়ে বড় বর্গ সংখ্যাটি হল $৪৪১$ । একে যদি দুটি সংখ্যার যোগফল হিসেবে লিখা হয় তবে লেখা যায় $\left \lfloor \frac{৪৪১-১}{২} \right \rfloor=২২০$ ভাবে । যাদের যোগ করে $৪৪১$ পাওয়া যায় তাদের মধ্যে বৃহত্তর গুলো নিই । এখন আমরা বেশি হলে $১$ টি সংখ্যা নিতে পারি । আর যেকোনো সংখ্যা নিতে গেলেই তার জোড়া পাওয়া যাবে এবং যোগফল হবে $৪৪১$ । $৪৪১$ এর চেয়ে ছোট কোন বর্গের ক্ষেত্রে আমরা কাজটি করতে পারিনা । সুতরাং নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে $২২১$ ।

(প্রমাণ তো হয়ে গেল দেখছি । ভুল আছে কিনা জানি না )

যথাসম্ভব বাংলায়

[amlansaha]

শিশির ভাই যেই সমস্যাটা দিয়েছেন সেটার সমাধান সম্ভবতঃ এরকম
বলা আছে $S$ সেটে $১$ থেকে $৪৪১$ পর্যন্ত সকল স্বাভাবিক সংখ্যা রয়েছে । সুতরাং এতে পূর্ণবর্গ রয়েছে $২১$ টি । এই $২১$ টি সংখ্যার একটি $X$ সেটে থাকতে পারে আর বাকি $৪৪১-২১=৪২০$ টি সংখ্যাই থাকতে পারে। সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে $৪২১$

তবে সম্ভবতঃ লাবিব ভাইয়ার সমস্যাটির পূর্ণ সমাধান করতে পারিনি । যতটুক গিয়েছি তা এরকম ।
সবচেয়ে বড় বর্গ সংখ্যাটি হল $৪৪১$ । একে যদি দুটি সংখ্যার যোগফল হিসেবে লিখা হয় তবে লেখা যায় $\left \lfloor \frac{৪৪১-১}{২} \right \rfloor=২২০$ ভাবে । যাদের যোগ করে $৪৪১$ পাওয়া যায় তাদের মধ্যে বৃহত্তর গুলো নিই । এখন আমরা বেশি হলে $১$ টি সংখ্যা নিতে পারি । আর যেকোনো সংখ্যা নিতে গেলেই তার জোড়া পাওয়া যাবে এবং যোগফল হবে $৪৪১$ । $৪৪১$ এর চেয়ে ছোট কোন বর্গের ক্ষেত্রে আমরা কাজটি করতে পারিনা । সুতরাং নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে $২২১$ ।
(প্রমাণ তো হয়ে গেল দেখছি । ভুল আছে কিনা জানি না )

যথাসম্ভব বাংলায়

good job

[amlansaha]

no two member of X is a square less or equal to 21^2.

তবে এখানে যদি sqare কথাটার পরে একটা ,(কমা) বসে, তবে ব্যাপারটা ভিন্ন হয়ে যাবে। তখন উত্তর সম্ভবত $১১৮$ হবে।

এক্ষেত্রে বিষয়টা এরকমঃ
আমরা যেই ২২১টা জিনিস নিয়ে $X$ তৈরি করেছি, তার যেকোনো ২টির যোগফল পূর্ণবর্গ হবে না। এখন যেকোনো ২টির যোগফল যেহেতু $> ২১^২$ সেহেতু ২২ দিয়ে শুরু করি। $22^2=484$ এবং $X$ এর সর্বোচ্চ সদস্য $441$ তাই এক্ষেত্রে $47$ লাগবে, যা $X$ এর মধ্যে নেই। এমনি ভাবে দেখানো যায়, $X$ এর ২টি জিনিস দিয়ে $25^2=625$ পর্যন্ত বানানো সম্ভব না। কিন্তু $26^2=441+235=440+234=\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ তাই $235$ থেকে $441$ পর্যন্ত যেইগুলা আছে তাদের মধ্যে শেষের অর্ধেক সদস্যরে বাদ দিতে হবে(না হলে তারা পরে ঝামেলা পাকাবে )। তাইলে মোট সদস্য হয় $118$ টা ($221থেকে৩৩৮$ , বাকি গুলারে বাদ দিছি )

[nafistiham]

অনেক ধন্যবাদ, অম্লান দা।

আমরা এখানে একটা সমস্যার অপারেশান করে কিডনি, লিভার সব বের করে ফেললাম ।
সব সমস্যার সাথেই এরকম করা উচিত । তাহলে ওই বিষয়ক চর্চা একটা সমস্যা দিয়েই অনেক হয়ে যাবে ।

[*Mahi*]

কোনো সেট $S=\left \{1,2,3,....,441\right \}$ এর একটি উপসেট $X$, যার কোন দুটি উপাদানের যোগফল $21^2$ বা তার থেকে ছোট কোনো পূর্ণবর্গ নয়...
$X$ এর সর্বোচ্চ উপাদান্সঙ্খ্যা কত?

তবে সম্ভবতঃ লাবিব ভাইয়ার সমস্যাটির পূর্ণ সমাধান করতে পারিনি । যতটুক গিয়েছি তা এরকম ।
সবচেয়ে বড় বর্গ সংখ্যাটি হল $৪৪১$ । একে যদি দুটি সংখ্যার যোগফল হিসেবে লিখা হয় তবে লেখা যায় $\left \lfloor \frac{৪৪১-১}{২} \right \rfloor=২২০$ ভাবে । যাদের যোগ করে $৪৪১$ পাওয়া যায় তাদের মধ্যে বৃহত্তর গুলো নিই । এখন আমরা বেশি হলে $১$ টি সংখ্যা নিতে পারি । আর যেকোনো সংখ্যা নিতে গেলেই তার জোড়া পাওয়া যাবে এবং যোগফল হবে $৪৪১$ । $৪৪১$ এর চেয়ে ছোট কোন বর্গের ক্ষেত্রে আমরা কাজটি করতে পারিনা । সুতরাং নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে $২২১$ । ...?
(প্রমাণ তো হয়ে গেল দেখছি । ভুল আছে কিনা জানি না )

যথাসম্ভব বাংলায়

How?
$4,5 \in S$, $4+5=9$

[nafistiham]

সমস্যাটা কোথায় ?
এখানে,$X$ নির্ণয় করতে হবে ।
সমাধান অনুযায়ী $4,5\notin X$

[*Mahi*]

Then how come $n(X)=221$?