Exam - Bangladesh Online Math Camp

[tanvirab]

ক্যাম্পের পরীক্ষা আগামী ২ নভেম্বর অনুষ্ঠিত হবে।
২ নভেম্বর সকালে প্রশ্ন ফোরামে পোস্ট করে দেওয়া হবে। ঐ সময় থকে ৪৮ ঘণ্টার জন্য ফোরামের কোন সদস্য সে সংক্রান্ত কোন আলোচনা ফোরামে করতে পারবে না। প্রশ্ন পোস্ট করার ২৪ ঘণ্টার মধ্যে প্রাইভেট মেসেজ আকারে উত্তর তানভীরকে প্রাইভেট মেসেজ আকারে পাঠাতে হবে। সেখানে অবশ্যই সকল সমীকরণ LaTeX ব্যবহার করে লিখতে হবে। পোস্ট করে উত্তর পাঠাতে চাইলে সেটা অবশ্যই ২ তারিখেই পোস্ট করতে হবে। পোস্ট করার ঠিকানা-

অভীক রায়
২৬ পাতলাখান লেন, লক্ষ্মীবাজার, ঢাকা-১১০০

সকল ক্ষেত্রেই প্রশ্নের পূর্ণাঙ্গ সমাধান লিখে পাঠাতে হবে। সমাধানের সাথে অংশগ্রহণকারীর পুরো নাম, শিক্ষা প্রতিষ্ঠান, শ্রেণী, মোবাইল নম্বর, ফোরাম নিক এবং একটি এক্টিভ ইমেল এড্রেস দিতে হবে।

It does not have to get here within 48 hours, But you have to post it by the end of the day (So there should be a date on the stamp).

Question will be available between 8-9am. Those sending solution by Internet will have 24 hours (upto 9am on November 3rd). You can scan your handwritten solution if you want. But if it's unclear then you will not get points - so I prefer LaTeX. If you type your solution, it must be in LateX.

Those sending solution by post must post it today. So they do not have 24 hours. They only have time upto the post office closes. So if you want 24 hours, use internet.

You cannot discuss these problems with anyone for 48 hours. You cannot look for solution in any book or the internet. If somehow you already know the solution (i.e. have read or done it before) then you must clearly state that with your solution (you still have to write the solution by yourself, without looking at any book or the internet). If you are taking part in the camp then you cannot post in this forum or any other forum for 48 hours.

You can use the theorems, propositions, lemmas proved in the textbook used for this camp but no other book. You can also use the results of the solved examples from the book directly. Basically anything that is proven in the book, you do not need to prove it again. But you must clearly state the page number of anything that you use from the book, otherwise you will not get points for it.

You can also use things that were proven in this forum during the camp (you can read the forum, but cannot post anything new) by you or others. But you must make sure that the proof in the forum is correct. If you use something proven in the forum you must copy the complete link to that post in your solution, otherwise you will not get points.


I tried to order the problems according to difficulty, but it may not be perfect.


Universal hint : AM-GM is my favourite inequality


1. Let $a,b,c$ be positive real numbers. Prove that,
\[ abc(a+b+c) \leq a^3b + b^3c + c^3a \]

2. Let $a,b$ be real numbers. Prove that,
\[ \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leq \frac{|a|}{1+|a|} + \frac{|b|}{1+|b|} \]


3. Let $a,b,c,d$ be positive numbers. Prove that,
\[ 1 < \frac{a}{a+b+d} + \frac{b}{a+b+c} +\frac{c}{b+c+d} +\frac{d}{a+c+d} < 2\]

4. Prove that,
\[\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}} \]
for all positive integers $n$.

5. Let $a,b,c$ be positive real numbers. Prove that,
\[ (a+b)(a+c) \geq 2 \sqrt{abc(a+b+c)} \]

6. Let $a,b,c$ be positive numbers with $abc=1$. Prove that,
\[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq a+b+c \]

7. Let $a_1, a_2, \cdots , a_n, b_1, b_2, \cdots , b_n$ be positive numbers. Prove that at least one of the following must be true,
\[ \frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \cdots + \frac{a_n}{b_n} \geq n\]
\[ \frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \cdots + \frac{b_n}{a_n} \geq n\]

8. Let $a,b,c$ be real numbers. Prove that,
\[ \frac{2}{b(a+b)} + \frac{2}{c(b+c)} + \frac{2}{a(c+a)} \geq \frac{27}{(a+b+c)^2} \]

9. Let $0 \leq x,y \leq 1$. Prove that,
\[ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}} \]
[Hint : any positive real number can be written as $e^u$ for some real number $u$. You can use this fact without proof. If you can solve the problem without using this hint, then you will get bonus point]


10. Let $f$ be a function from the set of real numbers to itself such that for all real numbers $x,y$,
\[ \frac{f(x) + f(y)}{2} - f(\frac{x+y}{2}) \geq |x-y| \]
Prove that,
\[ \frac{f(x) + f(y)}{2} - f(\frac{x+y}{2}) \geq 2^n|x-y| \]
for all real numbers $x,y$ and all non-negative integers $n$.
Also, prove that, no such function can exist.

11. Let $a,b,c,x,y,z$ be positive numbers such that $a \geq b \geq c$ and $x \geq y \geq z$. Prove that,
\[\frac{a^2x^2}{(by+cz)(bz+cy)} + \frac{b^2y^2}{(cz+ax)(cx+az)} + \frac{c^2z^2}{(ax+by)(ay+bx)} \geq \frac{3}{4} \]

12. Let $a,b,c,d$ be positive numbers such that $a \leq 1$, $a+b \leq 5$, $a+b+c \leq 14$, $a+b+c+d \leq 30$. Prove that,
\[ \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{d} \leq 10 \]

[MATHPRITOM]

Can I send individual solution of any problem?
or,have i to send all the solutions together at last?

[nafistiham]

vaia,why dont you save the pm as a draft after solving every problem? so that you can send them altogether any time you wish.

[Hasib]

মুপাইলে ল্য্যটেক্স টাইপ করতে গিয়া আঁধা ঘন্টা দেরী হয়ে গেসে । তানভীর ভাই, মাইন্ড খাইয়েন না, কইলাম............

[nafistiham]

মোবাইলে লেটেক্স লিইখ্যা ফেলছ? । তোমারে হাজার সালাম । আমার তো পিসিতে লিখতেই জান বের হয়ে গেসে ।

মোবাইলে কি প্রিভিউ দিয়ে বার বার দেখা যায়

[Nadim Ul Abrar]

$hiks ^{hiks}$

[Hasib]

আমি মোবাইলেই ভালো ল্যাটেক্স লিখতে পারি, আমার স্যারকে পিসি আনতে বলসিলাম। তারপর দেখি একটা টাইপ করতে করতে আধা ঘন্টা শেষ। তারপর বাকি ছিল ১ ঘন্টা ২০ মিনিট। তাড়াতাড়ি মুবাইলে করা শুরু করলাম। মোবাইলে আবার অপেরা মিনি ল্যাটেক্স সাপোর্ট করে না. তাই লিখে ফেসবুকে করে আমার স্যারের ফেবু আইডিতে পাঠাইলাম.. তারপর সেখান থেকে কপি করে ফোরামে পোষ্ট করে প্রিভিও দিলাম। তারপর দেখলাম ব্রাকেটে সমস্যা। সেইগুলা ঠিক করতে করতে ৯টা বেজে গেছে। তারপর আধা ঘন্টা লাগসে সবগুলা সাজাইতে। পিসিতে আমি দ্রুত টাইপ করতে পারিনা, আর বুঝতেও কষ্ট হয় ঠিক হইসে কিনা... :'(

খাতায় যা লিখছিলাম, সেইগুলা পুরা টাইপ করতে পারিনাই সময়ের অভাবে :'(
ল্যাটেক্স আমায় পুরা বাঁশ মেরে দিল :@

[nafistiham]

ভাইয়া, ক্যাম্পের কি ফলাফল ঘোষণা বা এরুপ কোন আনুষ্ঠানিকতা আছে ?
পরীক্ষার প্রশ্ন গুলোর সঠিক সমাধান কি প্রকাশ করা হবে ? হলে, কবে ?