10th problem of BdMO'10

[AntiviruShahriar]

$131$ টি ধনাত্নক পুর্ণ সংখ্যার এক্তি সেতে যেকনো সংখ্যার মৌলিক উত্পাদকগলো $42$ এর চেয়ে ছোট। দেখাও যে এই সেট থেকে এমন চারটি সংখ্যা নির্বাচন করা যাবে যেন তাদের গুণফল একটি পুর্ণবর্গ সংখ্যা হয়।
এইটা আমি National Math Olympiad (BdMO) এর পরীক্ষার দিন দেখার পর আর তাকাইও নাই। মনে হয় পারব না। প্রথমে কেউ হিন্তস দাও। তারপর solution টা hidden করে রাখো।

[Moon]

এইটা একটা আইএমও সমস্যার পরিবর্তিত রূপ।
Hint:

আমার পায়রাগুলো গুণে দেখা দরকার।

[kamrul2010]

এইটা একটা আইএমও সমস্যার পরিবর্তিত রূপ।
Hint:

আমার পায়রাগুলো গুণে দেখা দরকার।

হিহিহিহি! মজা পাইসি!

[AntiviruShahriar]

কোন সালের??????আমি আই এম অ এর খুব কম ই করসি......।মুন ভাইয়ার হিন্ট তা সুন্দর হইসে............

[tushar7]

এইটা একটা আইএমও সমস্যার পরিবর্তিত রূপ।
Hint:

আমার পায়রাগুলো গুণে দেখা দরকার।

does that mean PHP ?!

[Hasib]

Pigone hole principal diya korte hoy. Problem solving strategies boi tate dekhci bole mone pore

[sm.joty]

PHP ব্যবহার করে এটা বোঝা যায় যে অন্তত ১১ টা সংখ্যা আছে যারা ৪২ এর চেয়ে ছোট ১৩ টা প্রাইমের একটা নির্দিষ্ট প্রাইম দ্বারা বিভাজ্য। এখন কি করবো সেটাই তো বুঝতে পারছি না।
Can any one help ???

[sourav das]

[By Different letters consider different elements]

There are 13 primes less then 42.Let the set be $A$. Now define a function $f$ such that for any $a,b \in A$ ; $f(ab)=$Product of those $P_i < 42$ such that $ab$ has odd power of those $P_i$ in it's prime power factorization(Let denote it by PPF).Define $f(ab)=1$ if $ab$ is a perfect square. Now denote that if $f(ab)=f(cd)$ then $abcd$ is a perfect square[As $abcd$ will have all even parity of power of all $P_i$ ]....(i).And also denote that if $f(ab)=f(ac)$ then $f(bc)=1$...(ii)[As in PPF of $b$ and $c$ both have same parity of power in all of it's prime ]. Now we'll consider 4 cases:

** Case 1:

$f(ab)$is not equal to $1$ for all different $a,b$
Now there are $\binom{131}{2}$ choices for choosing $ab$. But there are at most $2^{13}-1$ choice of values for $f(ab)$ [REASON: there are 2 options for all $p_i<42$; either it divides $f(ab)$ or not. But the choice of all $p_i$ will not divide $f(ab)$ must be excluded as it is the case when $f(ab)=1$]

So there are $\binom{131}{2}-2^{13}+1$, $ab$ for which there exists different $cd$ such that $f(ab)=f(cd)$ [If $f(ab)=f(ac)$ then by (ii) contradiction] so by (i) we'll be done.

** Case 2:

For only 2 elements $f(ab)=1$ . Define $B=A \setminus {a}$ then all are same as Case 1 [Note $\binom{130}{2}>2^{13}-1$] to prove the given existence in $B$

** Case 3:

For only 3 different elements $f(ab)=f(ca)=f(bc)=1$. Consider $C=A \setminus \{b,c\}$ then all are same as Case 1 [Note $\binom{129}{2}>2^{13}-1$] to prove the given existence in $C$

**Case 4:

For existence of 4 or more than 4 elements such that $f(ab)=1$ then 2 cases are possible:
(i)If there exists different $a,b,c,d$ for which $f(ab)=f(cd)=1$ then we are done by (i).
(iii)If $f(ab)=f(ac)=f(ad)=1$ then $f(cd)=1$ (by (ii)) and we are done with $f(ab)=f(cd)=1$ using (i).

Please inform me if you find any bug.

And please inform me about the similar IMO problem.

And i still couldn't use the 'not equal sign '

[*Mahi*]

There was a similar problem of IMO 1985-4, solved that months ago
And use \not tag. That works on most PCs. If that doesn't work , there are some special cases like $\neq$

[samiul_samin]

There was a similar problem of IMO 1985-4, solved that months ago
And use \not tag. That works on most PCs. If that doesn't work , there are some special cases like $\neq$

The problemIMO 1985 #4 is harder than the national one.But,in that problem how many times do I need to use PHP?I have seen the solution from TAACOPS and AoPS but didn't understand the solution fully.

I also want to solve this problem by using PHP not by using function.