BdMO National 2012: Higher Secondary 09, Secondary 10
Problem:
A triomino is an $L$-shaped pattern made from three unit squares. A $2^k \times 2^k$ chessboard has one of its squares missing. Show that the remaining board can be covered with triominoes.
A triomino is an $L$-shaped pattern made from three unit squares. A $2^k \times 2^k$ chessboard has one of its squares missing. Show that the remaining board can be covered with triominoes.
"Inspiration is needed in geometry, just as much as in poetry." -- Aleksandr Pushkin
Please install LaTeX fonts in your PC for better looking equations,
learn how to write equations, and don't forget to read Forum Guide and Rules.
Please install LaTeX fonts in your PC for better looking equations,
learn how to write equations, and don't forget to read Forum Guide and Rules.
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 09, Secondary 10
"Inspiration is needed in geometry, just as much as in poetry." -- Aleksandr Pushkin
Please install LaTeX fonts in your PC for better looking equations,
learn how to write equations, and don't forget to read Forum Guide and Rules.
Please install LaTeX fonts in your PC for better looking equations,
learn how to write equations, and don't forget to read Forum Guide and Rules.
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 09, Secondary 10
ক্লাসিক এবং সোজা!
Please read Forum Guide and Rules before you post.
Use $L^AT_EX$, It makes our work a lot easier!
Nur Muhammad Shafiullah | Mahi
Use $L^AT_EX$, It makes our work a lot easier!
Nur Muhammad Shafiullah | Mahi
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 09, Secondary 10
ক্লাসিক কিন্তু সোজা না। আমি ৩ বার করে জিজ্ঞেস করলাম ত্রিমিনো গুলা shuffle করা যাবে কিনা। কোন ভাইয়াই এইটা বুঝাইতে পারল না। কাজেই ৩ দ্বারা বিভাজ্য প্রমান করেই শেষ আর করতে পারি নাই।*Mahi* wrote:ক্লাসিক এবং সোজা!
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 09, Secondary 10
সল্যুশন দেখলে কান্না পাবেsm.joty wrote:ক্লাসিক কিন্তু সোজা না। আমি ৩ বার করে জিজ্ঞেস করলাম ত্রিমিনো গুলা shuffle করা যাবে কিনা। কোন ভাইয়াই এইটা বুঝাইতে পারল না। কাজেই ৩ দ্বারা বিভাজ্য প্রমান করেই শেষ আর করতে পারি নাই।*Mahi* wrote:ক্লাসিক এবং সোজা!
Please read Forum Guide and Rules before you post.
Use $L^AT_EX$, It makes our work a lot easier!
Nur Muhammad Shafiullah | Mahi
Use $L^AT_EX$, It makes our work a lot easier!
Nur Muhammad Shafiullah | Mahi
- nafistiham
- Posts:829
- Joined:Mon Oct 17, 2011 3:56 pm
- Location:24.758613,90.400161
- Contact:
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 09, Secondary 10
আমি ইংলিশ অংশ টা পড়িনি । তাই, unit square এর জন্য প্রমান করার পরও যেকোনো sqaureএর জন্য প্রমান করে রেখে দিছি ।
প্রমানঃ
প্রমানঃ
\[\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2 \pi i k}{n}}=0\]
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
- nafistiham
- Posts:829
- Joined:Mon Oct 17, 2011 3:56 pm
- Location:24.758613,90.400161
- Contact:
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 09, Secondary 10
In the contest, I proved the base case.but, after that, i simply said that, if we take out the $4\times 4$ square there will be left out a trimino of $4\times 4$ squares in the $8 \times 8$ square .then again by taking out the $8 \times 8$ sqaure there will be a bigger trimino and induction like that.
because, in the bangla problem there was just said a trimino is made of 'তিনটি বর্গ' not, 'তিনটি একক বর্গ'
because, in the bangla problem there was just said a trimino is made of 'তিনটি বর্গ' not, 'তিনটি একক বর্গ'
Last edited by Masum on Fri Feb 24, 2012 11:11 pm, edited 1 time in total.
Reason: You can't ask for your marks, at least here.
Reason: You can't ask for your marks, at least here.
\[\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2 \pi i k}{n}}=0\]
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 09, Secondary 10
আমার তো সলিউসন না দেখেই কান্না পাইতেসে...*Mahi* wrote:সল্যুশন দেখলে কান্না পাবেsm.joty wrote:ক্লাসিক কিন্তু সোজা না। আমি ৩ বার করে জিজ্ঞেস করলাম ত্রিমিনো গুলা shuffle করা যাবে কিনা। কোন ভাইয়াই এইটা বুঝাইতে পারল না। কাজেই ৩ দ্বারা বিভাজ্য প্রমান করেই শেষ আর করতে পারি নাই।*Mahi* wrote:ক্লাসিক এবং সোজা!
কিন্তু সলিউসন কই ?????
হার জিত চিরদিন থাকবেই
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........
তবুও এগিয়ে যেতে হবে.........
বাধা-বিঘ্ন না পেরিয়ে
বড় হয়েছে কে কবে.........
- nafistiham
- Posts:829
- Joined:Mon Oct 17, 2011 3:56 pm
- Location:24.758613,90.400161
- Contact:
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 09, Secondary 10
ভাইয়া, আমার সমাধানটা দেখতে পার । সম্ভবতঃ হয়েছে । ভুল থাকলে বোলো ।sm.joty wrote:আমার তো সলিউসন না দেখেই কান্না পাইতেসে...*Mahi* wrote:সল্যুশন দেখলে কান্না পাবেsm.joty wrote: ক্লাসিক কিন্তু সোজা না। আমি ৩ বার করে জিজ্ঞেস করলাম ত্রিমিনো গুলা shuffle করা যাবে কিনা। কোন ভাইয়াই এইটা বুঝাইতে পারল না। কাজেই ৩ দ্বারা বিভাজ্য প্রমান করেই শেষ আর করতে পারি নাই।
কিন্তু সলিউসন কই ?????
\[\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2 \pi i k}{n}}=0\]
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
Using $L^AT_EX$ and following the rules of the forum are very easy but really important, too.Please co-operate.
- Tahmid Hasan
- Posts:665
- Joined:Thu Dec 09, 2010 5:34 pm
- Location:Khulna,Bangladesh.
Re: BdMO National 2012: Higher Secondary 09, Secondary 10
here's my solution
it is trivial for $k=1$
let us assume that the statement holds for $k=n$,let us also assume that there is such a permutation that the 'blank' square lies on the edge.(ফাঁকা বর্গটা যেন কোণায় থাকে)
now for $k=n+1$,we take $4$ chessboards of $2^n*2^n$ such that after joining them they form a $2^{n+1}*2^{n+1}$ square for which $3$ blank squares are in the middle and the other is at the edge.
now we can cover the $3$ three blank squares with a trimino.
thus our assumption(the additional one too) holds for $k=n+1$
so by mathematical induction it holds for all natural $k$.
it is trivial for $k=1$
let us assume that the statement holds for $k=n$,let us also assume that there is such a permutation that the 'blank' square lies on the edge.(ফাঁকা বর্গটা যেন কোণায় থাকে)
now for $k=n+1$,we take $4$ chessboards of $2^n*2^n$ such that after joining them they form a $2^{n+1}*2^{n+1}$ square for which $3$ blank squares are in the middle and the other is at the edge.
now we can cover the $3$ three blank squares with a trimino.
thus our assumption(the additional one too) holds for $k=n+1$
so by mathematical induction it holds for all natural $k$.
বড় ভালবাসি তোমায়,মা