বুঝি নাই-০১ :(

[sm.joty]

এই টপিকের উদ্দেশ্য হল আমি যেসব জিনিস বুঝি নাই সেগুলা বুঝাইয়া দেয়া। আমারা অনেকেই ইংলিশ বই পড়তে পড়তে অনেক ঝামেলায় পরি, তখন বুঝায়া দেয়ার কেউ থাকে না। চিন্তা করলাম এত বড় একটা ফোরাম থাকতে আর এত পোলাপান থাকতে আমি কিছু বুঝলাম না এইটা হইল...... তাই এই পোস্ট। এখন থেকে নিয়মিত দেয়া হবে।

এখন কেউ একজন তারাতাড়ি উত্তর দেন......

১.Advance Problem -51 from 101 problem in Algebra
problem

Evaluate
$\binom{2000}{2}+\binom{2000}{5}+\binom{2000}{8}+\cdots\cdots+\binom{2000}{2000}$

solution

Let $f(x)=(1+x)^{2000}=\sum_{k=0}^{2000}\binom{2000}{k}x^k$
let $\omega=\frac{(-1+\sqrt{3i})}{2}$
now,
$3(\binom{2000}{2}+\binom{2000}{5}+\binom{2000}{8}+\cdots\cdots+\binom{2000}{2000})
=f(1)+\omega f(\omega)+\omega^2 f(\omega^2)$
$=calculation$
$=2^{2000}-1$

বুঝলাম না,
$3(\binom{2000}{2}+\binom{2000}{5}+\binom{2000}{8}+\cdots\cdots+\binom{2000}{2000})
=f(1)+\omega f(\omega)+\omega^2 f(\omega^2)$
কেন হইল ???????? কিভাবে ???

২.Problem: 1-67 from Theory of Numbers
problem

prove that,
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+............+\frac{1}{n}$
is not an integer. for $n>1$.

solution

Let, $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+............+\frac{1}{n}$
let, $m$ be the largest integer such that $2^m\leq n$
and let $P$ be the product of all the odd numbers not exceeding $n$. Then each terms in $2^{m-1}P$S is an integer except for $2^{m-1}P(1/2^m)$ hence $S$ can not be an integer.

পুরা মাথার ব্যাপক উপর দিয়া গেল

Moderator's note: Is it clear now?

[MATHPRITOM]

$ f(x)=(1+x)^{2000} $.
$ \Rightarrow f(x)=\dbinom{2000}{0} x^0+ \dbinom{2000}{1}x^1+\dbinom{2000}{2}x^2+...+\dbinom{2000}{2000}x^{2000} $.
when x=1;
$ f(1)=(1+1)^{2000}=\dbinom{2000}{0} 1^0+ \dbinom{2000}{1}1^1+\dbinom{2000}{2}1^2+...+\dbinom{2000}{2000}1^{2000} $. ...(1)

when x=w,
$ f(w)=(1+w)^{2000}=\dbinom{2000}{0} w^0+ \dbinom{2000}{1}w^1+\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{3}w^3+\dbinom{2000}{4}w^4...+\dbinom{2000}{2000}w^{2000} $.
$=\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{1}w+\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{3}+\dbinom{2000}{4}w+...+\dbinom{2000}{2000}w^{2}.$ $[w^{3n}=1,w^{3n+1}=w,w^{3n+2}=w^2] $.
$=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)+ (\dbinom{2000}{1}w+

\dbinom{2000}{4}w+ \dbinom{2000}{7}w+...)$+$(\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{5}w^2+\dbinom{2000}{8}w^2+...)$
$=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)w^2$.
$\Rightarrow wf(w)=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)w+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w^2+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)w^3 $.
$\Rightarrow wf(w)=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)w+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w^2+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)$.

[MATHPRITOM]

দোস্ত, বাকি টুকু বুঝে বুঝে নিজে কর,......অনেক বড়ো LATEX , আর লিখতে পারলাম না।

[*Mahi*]

$ f(x)=(1+x)^{2000} $.
$ \Rightarrow f(x)=\dbinom{2000}{0} x^0+ \dbinom{2000}{1}x^1+\dbinom{2000}{2}x^2+...+\dbinom{2000}{2000}x^{2000} $.
when x=1;
$ f(1)=(1+1)^{2000}=\dbinom{2000}{0} 1^0+ \dbinom{2000}{1}1^1+\dbinom{2000}{2}1^2+...+\dbinom{2000}{2000}1^{2000} $. ...(1)

when x=w,
$ f(w)=(1+w)^{2000}=\dbinom{2000}{0} w^0+ \dbinom{2000}{1}w^1+\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{3}w^3+\dbinom{2000}{4}w^4...+\dbinom{2000}{2000}w^{2000} $.
$=\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{1}w+\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{3}+\dbinom{2000}{4}w+...+\dbinom{2000}{2000}w^{2}.$ $[w^{3n}=1,w^{3n+1}=w,w^{3n+2}=w^2] $.
$=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)+ (\dbinom{2000}{1}w+

\dbinom{2000}{4}w+ \dbinom{2000}{7}w+...)$+$(\dbinom{2000}{2}w^2+\dbinom{2000}{5}w^2+\dbinom{2000}{8}w^2+...)$
$=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)w^2$.
$\Rightarrow wf(w)=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)w+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w^2+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)w^3 $.
$\Rightarrow wf(w)=(\dbinom{2000}{0}+ \dbinom{2000}{3}+ \dbinom{2000}{6}+\dbinom{2000}{9}+...)w+(\dbinom{2000}{1}+\dbinom{2000}{4}+\dbinom{2000}{7}+...)w^2+\dbinom{2000}{7}+...)w+(dbinom{2000}{2}+dbinom{2000}{5}+dbinom{2000}{8}+...)$.

Why don't you use the summation notation?

[MATHPRITOM]

I wrote every line details for making all the things clear.

[sm.joty]

হুম, বুঝসি...
কিন্তু ২য় সমস্যা টার উত্তর কেউ তো দিল না...।

[nafistiham]

হুম, বুঝসি...
কিন্তু ২য় সমস্যা টার উত্তর কেউ তো দিল না...।

আমি অনেক বার পড়লাম, কিন্তু কিছুই কিনারা পাইলাম না ।

[MATHPRITOM]

২ টা আমিও অনেক বার পড়ছি ।। এবং অনেক বারই মাথার উপর দিয়ে গেছে ...

[MATHPRITOM]

২য় টার জন্য bossদের সাহায্য চাইতেছি ।।

[sourav das]

Is it clear now???(See the solution again)