#বাংলাEnglishForum Link
এককালে, একটা দূরের গ্রামে \(42\) জন মানুষ বাস করত। তাদের প্রত্যেকেই হয় সব সময় সত্যি বলত অথবা সব সময় মিথ্যা বলত। একদিন এক আগন্তুক তাদের প্রত্যেককে জিজ্ঞেস করল, "তোমাদের মধ্যে কতজন মিথ্যাবাদী?" তারা কেউই সরাসরি উত্তর দিল না। কিন্তু তাদের মধ্যে \(26\) জন বলল যে মিথ্যাবাদীর সংখ্যা বিজোড় আর বাকি \(16\) জন বলল মিথ্যাবাদীর সংখ্যা জোড়। তাদের মধ্যে কতজন মিথ্যাবাদী? Once upon a time, in a far-away village, there were \(42\) villagers. Each of them either always told the truth or always lied. Being fascinated, a stranger once asked each of them, "How many of you are liars?" None of them gave a direct answer. But \(26\) out of them replied that the number of liars is odd and the other \(16\) told that it was even. How many of them were lying?  Discuss
জয়দীপের উঠানে তিনটা কল আছে: \(A\), \(B\) আর \(C\)। সে যদি তিনটা কলই একসাথে খুলে দেয়, তাহলে তার পুলটা \(100\) মিনিটে পরিপূর্ণ হয়ে যায়। সে যদি খালি \(A\) আর \(B\) কল একসাথে খুলে দেয়, তাহলে তার পুলটা \(150\) মিনিটে পরিপূর্ণ হয়ে যায়। সে যদি খালি \(B\) আর \(C\) কলটা একসাথে খুলে দেয়, তাহলে তার পুলটা \(200\) মিনিটে পরিপূর্ণ হয়ে যায়। সে যদি খালি \(A\) আর \(C\) কলটা একসাথে খুলে দেয়, তাহলে তার পুলটা পরিপূর্ণ হতে কত মিনিট সময় লাগবে? Joydip's backyard has three faucets: \(A\), \(B\) and \(C\). If he turns on all three of them, it takes \(100\) minutes to fill the pool. If he turns on only \(A\) and \(B\), it takes \(150\) minutes, and if he turns on only \(B\) and \(C\), it takes \(200\) minutes. If he turns on only \(A\) and \(C\), how long will it take (in minutes) to fill the pool?  Discuss

\(1^{2}, 2^2, 3^2, \cdots , 2021^2\) সংখ্যাগুলোর মধ্যে কতগুলো সংখ্যার এককের ঘরের অঙ্ক \(1\)?

How many numbers out of \(1^{2}, 2^2, 3^2, \cdots , 2021^2\) have a \(1\) in its units place?

 Discuss

মিতা একটা সারিতে \(2024\)-টা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এমনভাবে লিখেছে যাতে পরপর যেকোনো চারটা সংখ্যার গুণফল \(2100\) হয়। সারির প্রথম সংখ্যাটা \(7\), \(1011\)-তম সংখ্যাটা \(5\), \(2014\)-তম সংখ্যাটা \(20\)। সারির সবার শেষের সংখ্যাটা কত?

Mita wrote \(2024\) positive integers in a row such that the product of any four adjacent numbers is \(2100\). The first number is \(7\), the \(1011\)th number is \(5\), the \(2014\)th number is \(20\). What is the last number in the row?

 Discuss

কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(n\)-এর জন্য \(g(n)\) দিয়ে আমরা তার অঙ্কগুলোর যোগফলকে বোঝাই। কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(x\)-এর জন্য \(g(x)\), \(g(g(x))\), \(g(g(g(x)))\), \(\cdots \) সিকোয়েন্সেরটার কথা চিন্তা করো। একসময় এই সিকোয়েন্সের পদগুলো আর পরিবর্তিত হবে না। সেই অবস্থায় সিকোয়েন্সের পদগুলো যে সংখ্যাটার সমান হবে, সেটার নাম দাও \(f(x)\)। কতগুলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(a \leq 2021\) আছে যেন \(f(a)=9\) হয়?

For a positive integer \(n\), let \(g(n)\) be the sum of its digits. For a positive integer \(x\), consider the sequence \(g(x)\), \(g(g(x))\), \(g(g(g(x)))\), \(\cdots \). At some point, this sequence will eventually be a constant. Denote that constant by \(f(x)\). Find the number of positive integers \(a \leq 2021\) such that \(f(a)=9\).

 Discuss

মনে করো, তুমি একটা খেলা খেলছ। তোমার কাছে ছবিতে দেখানো যন্ত্রের মতো একটা যন্ত্র আছে। ছবিতে কালো বিন্দুগুলো হলো পেরেক যেগুলো দেয়ালের সাথে গাঁথা। তুমি এই যন্ত্রের ঠিক ওপর থেকে একটা বল ছেড়ে দাও। বলটা নিচে পড়তে থাকে। কিন্তু প্রতি পেরেকে গিয়ে সেটা হয় ডানে অথবা বামে যায়। খেয়াল করো, যন্ত্রের বাম থেকে দ্বিতীয় কক্ষে পৌঁছানোর জন্য বলটার \(4\)টা সম্ভাব্য পথ আছে। যদি যন্ত্রটাতে \(4\)-এর বদলে \(8\) সারি পেরেক থাকত, তাহলে যন্ত্রের বাম থেকে দ্বিতীয় কক্ষে পৌঁছানোর জন্য বলটার কতগুলো সম্ভাব্য পথ থাকত? (এই ক্ষেত্রে যন্ত্রটার নিচে \(9\)টা কক্ষের একটা সারি থাকত।)

P6 nat2021

Imagine that you're playing a game. You have a device that looks just like the one shown in the figure. The black dots are nails hammered to the wall. You release a ball from the top of the device. The ball then rolls downwards but at each nail it goes either to the left or to the right. Notice how there are \(4\) different ways for the ball to reach the second compartment from the left. If the device had \(8\) rows of nails instead of \(4\), how many different ways would there be for the ball to reach the second compartment from the left? (In this case, we would have \(9\) compartments at the bottom.)

P6 nat2021

 Discuss

কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(n\)-এর জন্য যদি \((5n+3)\) আর \((8n+1)\)-এর গসাগু \(1\)-এর চেয়ে বড় হয়, তাহলে তাদের গসাগু কত?

Given that the GCD of \((5n+3)\) and \((8n+1)\) is greater than \(1\) for some positive integer \(n\), what is their GCD?

 Discuss
একটা ভোজে সতেরোজন মানুষ একটা গোলটেবিলে বসে আছে। তাদের মধ্যে কেউ কেউ সব সময় মিথ্যা বলে। আর বাকিরা সব সময় সত্যি বলে। তাদের সবাইকে প্রশ্ন করার পর তাদের প্রত্যেকেই বলল যে গোলটেবিলে তাদের পাশে বসা দুইজনই মিথ্যাবাদী। এদের মধ্যে সর্বোচ্চ কতজন মিথ্যাবাদী হতে পারে? In a banquet, seventeen people are sitting around a circular table. Some of them always lie, the others always tell the truth. After being asked, each of them revealed that both of their neighbors are liars. At most how many of them are lying?  Discuss

কোনো একটা আকৃতির পরিসীমা হলো তার বাউন্ডারির দৈর্ঘ্য। যেমন কোনো একটা ত্রিভুজের পরিসীমা হলো তার তিনটা বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল। নিচের ছবিতে \(ABC\) আর \(DEF\) দুটোই সমবাহু ত্রিভুজ এবং \(BC\) আর \(DE\) বাহুদুটো সমান্তরাল। \(\triangle ABC\) আর \(\triangle DEF\)-এর পরিসীমা যথাক্রমে \(12\) আর \(15\)। ছায়াকৃত অংশের পরিসীমা কত?

P9 nat2021

The perimeter of a shape is the length of the boundary surrounding that shape. For example, the perimeter of a triangle is the sum of all its three side lengths. In the following diagram, \(ABC\) and \(DEF\) are both equilateral triangles and the sides \(BC\) and \(DE\) are parallel. The perimeters of \(\triangle ABC\) and \(\triangle DEF\) are \(12\) and \(15\) respectively. What is the perimeter of the shaded region?

P9 nat2021

 Discuss
১০ মনে করো, \(r\) একটা ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা। \([r]\) দিয়ে আমরা \(r\)-এর পূর্ণসাংখ্যিক অংশ বোঝাই আর \(\{r\}\) দিয়ে আমরা \(r\)-এর ভগ্নাংশিক অংশটা বোঝাই। যেমন যদি \(r=32.86\) হয়, তাহলে \(\{r\}=0.86\) এবং \([r]=32\)। এমন সব ধনাত্মক সংখ্যা \(r\)-এর যোগফল কত যদি \(25\{r\}+[r]=125\) হয়?

Let \(r\) be a positive real number. Denote by \([r]\) the integer part of \(r\) and by \(\{r\}\) the fractional part of \(r\). For example, if \(r=32.86\), then \(\{r\}=0.86\) and \([r]= 32\). What is the sum of all positive numbers \(r\) satisfying \(25\{r\}+[r]=125\)?

 Discuss
১১

সমুদ্রের কাছে একটা টেবিলের ওপর \(N\)-টা গ্লাসের বাক্স আছে যেখানে \(N<2021\)। বাক্সগুলোর প্রত্যেকটাতেই ঠিক \(2021\)-টা করে বল আছে। সৌধ আর রাফি একটা খেলা খেলছে যেখানে সৌধ প্রথম চাল দেয়। কোনো চালে একজন যেকোনো একটা বলসহ বাক্স বাছাই করে এবং তারপর বাক্সটা থেকে এক বা তার চেয়ে বেশি সংখ্যক বল বের করে সমুদ্রে ফেলে দেয়। কেউ চাইলে একটা বাক্স বাছাই করে তার সবগুলো বলই ফেলে দিতে পারে। এই খেলায় যে সবার শেষের বলটা ফেলতে পারে, সে জেতে। \(N\)-এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য সৌধর এই খেলায় একটা জেতার স্ট্র্যাটেজি আছে, তাদের যোগফল \(S\)। \(N\)-এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য রাফির এই খেলায় একটা জেতার স্ট্র্যাটেজি আছে, তাদের যোগফল \(R\)। \(\frac{R-S}{10}\)-এর মান কত?

On a table near the sea, there are \(N\) glass boxes where \(N < 2021\), each containing exactly \(2021\) balls. Sowdha and Rafi play a game by taking turns on the boxes where Sowdha takes the first turn. In each turn, a player selects a non-empty box and throws out some of the balls from it into the sea. If a player wants, he can throw out all of the balls in the selected box. The player who throws out the last ball wins. Let \(S\) be the sum of values of \(N\) for which Sowdha has a winning strategy, and let \(R\) be the sum of values of \(N\) for which Rafi has a winning strategy. What is the value of \(\frac{R - S}{10}\)?

 Discuss
১২ \(1 < N \leq 2021\) একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। \(1, 2, 3, \cdots, N\) সংখ্যাগুলো একটা সারিতে এই ক্রমে সাজানো আছে। জয়দীপ আর মুরসালিন একটা খেলা খেলছে যেখানে তারা পালাক্রমে সারির যেকোনো দুটো পরপর সংখ্যা বাছাই করে, মুছে দেয় এবং তাদের যোগফল বা গুণফলটা লিখে দেয়। ফলে প্রতি চালে সংখ্যাগুলোর সংখ্যা ঠিক এক করে কমে যায়। খেলায় প্রথম চালটা জয়দীপ দেয়। খেলাটা শেষ হয় যখন খালি একটা সংখ্যা বাকি থাকে এবং জয়দীপ জেতে যদি আর কেবল যদি সেই সংখ্যাটা বিজোড় হয়। \(N\)-এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য জয়দীপের একটা জেতার স্ট্র্যাটেজি আছে, তাদের যোগফল কত? Let \(1 < N\leq 2021\) be a positive integer. The numbers \(1, 2, 3, \cdots , N\) are written in a row in this order. Joydip and Mursalin play a game where they each take turns erasing two consecutive numbers from the board and replacing them with either their sum or their product. As a result, the number of numbers goes down by one in each turn. Joydip goes first. The game ends when there is only a single number left and Joydip wins if and only if this number is odd. What is the sum of all possible values of \(N\) for which Joydip has a winning strategy?  Discuss