Primary Category Questions - BdMO National 2021

\(1^{2}, 2^2, 3^2, \cdots , 2021^2\) সংখ্যাগুলোর মধ্যে কতগুলো সংখ্যার এককের ঘরের অঙ্ক \(1\)?

How many numbers out of \(1^{2}, 2^2, 3^2, \cdots , 2021^2\) have a \(1\) in its units place?

মিতা একটা সারিতে \(2024\)-টা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এমনভাবে লিখেছে যাতে পরপর যেকোনো চারটা সংখ্যার গুণফল \(2100\) হয়। সারির প্রথম সংখ্যাটা \(7\), \(1011\)-তম সংখ্যাটা \(5\), \(2014\)-তম সংখ্যাটা \(20\)। সারির সবার শেষের সংখ্যাটা কত?

Mita wrote \(2024\) positive integers in a row such that the product of any four adjacent numbers is \(2100\). The first number is \(7\), the \(1011\)th number is \(5\), the \(2014\)th number is \(20\). What is the last number in the row?

কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(n\)-এর জন্য \(g(n)\) দিয়ে আমরা তার অঙ্কগুলোর যোগফলকে বোঝাই। কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(x\)-এর জন্য \(g(x)\), \(g(g(x))\), \(g(g(g(x)))\), \(\cdots \) সিকোয়েন্সেরটার কথা চিন্তা করো। একসময় এই সিকোয়েন্সের পদগুলো আর পরিবর্তিত হবে না। সেই অবস্থায় সিকোয়েন্সের পদগুলো যে সংখ্যাটার সমান হবে, সেটার নাম দাও \(f(x)\)। কতগুলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(a \leq 2021\) আছে যেন \(f(a)=9\) হয়?

For a positive integer \(n\), let \(g(n)\) be the sum of its digits. For a positive integer \(x\), consider the sequence \(g(x)\), \(g(g(x))\), \(g(g(g(x)))\), \(\cdots \). At some point, this sequence will eventually be a constant. Denote that constant by \(f(x)\). Find the number of positive integers \(a \leq 2021\) such that \(f(a)=9\).

মনে করো, তুমি একটা খেলা খেলছ। তোমার কাছে ছবিতে দেখানো যন্ত্রের মতো একটা যন্ত্র আছে। ছবিতে কালো বিন্দুগুলো হলো পেরেক যেগুলো দেয়ালের সাথে গাঁথা। তুমি এই যন্ত্রের ঠিক ওপর থেকে একটা বল ছেড়ে দাও। বলটা নিচে পড়তে থাকে। কিন্তু প্রতি পেরেকে গিয়ে সেটা হয় ডানে অথবা বামে যায়। খেয়াল করো, যন্ত্রের বাম থেকে দ্বিতীয় কক্ষে পৌঁছানোর জন্য বলটার \(4\)টা সম্ভাব্য পথ আছে। যদি যন্ত্রটাতে \(4\)-এর বদলে \(8\) সারি পেরেক থাকত, তাহলে যন্ত্রের বাম থেকে দ্বিতীয় কক্ষে পৌঁছানোর জন্য বলটার কতগুলো সম্ভাব্য পথ থাকত? (এই ক্ষেত্রে যন্ত্রটার নিচে \(9\)টা কক্ষের একটা সারি থাকত।)

Imagine that you're playing a game. You have a device that looks just like the one shown in the figure. The black dots are nails hammered to the wall. You release a ball from the top of the device. The ball then rolls downwards but at each nail it goes either to the left or to the right. Notice how there are \(4\) different ways for the ball to reach the second compartment from the left. If the device had \(8\) rows of nails instead of \(4\), how many different ways would there be for the ball to reach the second compartment from the left? (In this case, we would have \(9\) compartments at the bottom.)

কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(n\)-এর জন্য যদি \((5n+3)\) আর \((8n+1)\)-এর গসাগু \(1\)-এর চেয়ে বড় হয়, তাহলে তাদের গসাগু কত?

Given that the GCD of \((5n+3)\) and \((8n+1)\) is greater than \(1\) for some positive integer \(n\), what is their GCD?

কোনো একটা আকৃতির পরিসীমা হলো তার বাউন্ডারির দৈর্ঘ্য। যেমন কোনো একটা ত্রিভুজের পরিসীমা হলো তার তিনটা বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল। নিচের ছবিতে \(ABC\) আর \(DEF\) দুটোই সমবাহু ত্রিভুজ এবং \(BC\) আর \(DE\) বাহুদুটো সমান্তরাল। \(\triangle ABC\) আর \(\triangle DEF\)-এর পরিসীমা যথাক্রমে \(12\) আর \(15\)। ছায়াকৃত অংশের পরিসীমা কত?

The perimeter of a shape is the length of the boundary surrounding that shape. For example, the perimeter of a triangle is the sum of all its three side lengths. In the following diagram, \(ABC\) and \(DEF\) are both equilateral triangles and the sides \(BC\) and \(DE\) are parallel. The perimeters of \(\triangle ABC\) and \(\triangle DEF\) are \(12\) and \(15\) respectively. What is the perimeter of the shaded region?

Let \(r\) be a positive real number. Denote by \([r]\) the integer part of \(r\) and by \(\{r\}\) the fractional part of \(r\). For example, if \(r=32.86\), then \(\{r\}=0.86\) and \([r]= 32\). What is the sum of all positive numbers \(r\) satisfying \(25\{r\}+[r]=125\)?

সমুদ্রের কাছে একটা টেবিলের ওপর \(N\)-টা গ্লাসের বাক্স আছে যেখানে \(N<2021\)। বাক্সগুলোর প্রত্যেকটাতেই ঠিক \(2021\)-টা করে বল আছে। সৌধ আর রাফি একটা খেলা খেলছে যেখানে সৌধ প্রথম চাল দেয়। কোনো চালে একজন যেকোনো একটা বলসহ বাক্স বাছাই করে এবং তারপর বাক্সটা থেকে এক বা তার চেয়ে বেশি সংখ্যক বল বের করে সমুদ্রে ফেলে দেয়। কেউ চাইলে একটা বাক্স বাছাই করে তার সবগুলো বলই ফেলে দিতে পারে। এই খেলায় যে সবার শেষের বলটা ফেলতে পারে, সে জেতে। \(N\)-এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য সৌধর এই খেলায় একটা জেতার স্ট্র্যাটেজি আছে, তাদের যোগফল \(S\)। \(N\)-এর সম্ভাব্য যেসব মানের জন্য রাফির এই খেলায় একটা জেতার স্ট্র্যাটেজি আছে, তাদের যোগফল \(R\)। \(\frac{R-S}{10}\)-এর মান কত?

On a table near the sea, there are \(N\) glass boxes where \(N < 2021\), each containing exactly \(2021\) balls. Sowdha and Rafi play a game by taking turns on the boxes where Sowdha takes the first turn. In each turn, a player selects a non-empty box and throws out some of the balls from it into the sea. If a player wants, he can throw out all of the balls in the selected box. The player who throws out the last ball wins. Let \(S\) be the sum of values of \(N\) for which Sowdha has a winning strategy, and let \(R\) be the sum of values of \(N\) for which Rafi has a winning strategy. What is the value of \(\frac{R - S}{10}\)?