#বাংলাEnglishForum Link
\(m\) এমন একটি বাস্তব সংখ্যা যা \(3^m=4m\) সমীকরণ সিদ্ধ করে। \(\frac{3^{3^m}}{m^4}\) -এর সম্ভাব্য সকল মানের যোগফল বের করো। Let \(m\) be a real number such that the following equation holds: \(3^m=4m\). Compute the sum of all possible distinct values that \(\frac{3^{3^m}}{m^4}\) can take.  Discuss
একটি বহুভুজকে 'সুন্দর বহুভুজ' বলা যাবে, যদি তার তিনটি শীর্ষ বেছে নেওয়া যায় যেন তাদের মাঝে \(144^\circ\) কোণ তৈরী হয়। \(n\) বাহু বিশিষ্ট এমন কতগুলো সুষম বহুভুজ আছে যাদেরকে সুন্দর বহুভুজ বলা যাবে যেখানে \(8<n\leq 2024\)? A polygon is called beautiful if you can pick three of its vertices to have an angle of \(144^\circ\). Compute the number of integers \(8<n\leq 2024\) for which a regular \(n\)-gon is beautiful.  Discuss
একটা পার্টিতে \(11\) জন আছে। এদের মধ্যে কেউ কেউ পরস্পরের সাথে হ্যান্ডশেক করে। এই পার্টিতে যেকোনো তিনজনের মধ্যে এমন একজন আছে যে ওই তিনজনের বাকি দুইজনের সাথে হ্যান্ডশেক করে। ওই পার্টিতে সর্বনিম্ন কতগুলো হ্যান্ডশেক হতে পারে? In a party of \(11\) people, certain pairs of people shake hands with each other. In every group of three people, there exists one person who shakes hands with the other two. What is the minimum number of handshakes that can take place at this party?  Discuss
\(ABCD\) একটি বর্গক্ষেত্র। \(P\) এবং \(Q\) যথাক্রমে \(BC\) এবং \(CD\) রেখাংশের উপর দুইটি বিন্দু যাতে করে \(\angle APQ = 90^\circ\) হয়। দেওয়া আছে যে, \(AP = 4\) এবং \(PQ= 1\)। যদি \(AB\)-এর দৈর্ঘ্যকে লঘিষ্ঠ আকারে \(\frac{m}{n}\) হিসেবে লেখা যায়, তবে \(m+10n\)-এর মান বের কর। \(ABCD\) is a square. \(P\) and \(Q\) are two points in segment \(BC\) and \(CD\) respectively such that \(\angle APQ = 90^\circ\). It is given that \(AP = 4\) and \(PQ = 1\). If we express the length of segment \(AB\) as \(\frac{m}{n}\) in lowest term, compute \(m+10n\).  Discuss
এমন কতগুলো বাস্তব সংখ্যা \(x_1, x_2, \cdots\) আছে যেখানে \(n>0\) এর জন্য, \(x_{n+3} = x_{n+2} - 2x_{n+1} + x_n\) হয় । ধরো, \(x_1 = x_3 = 1\) এবং বলা হয়েছে \(x_{98} = x_{99}\) । উপরের শর্ত অনুযায়ী, \(x_1 + x_2 + ... + x_{100} =\) ? Let \(x_1, x_2, \cdots\) be real numbers so that for all \(n > 0\), \(x_{n+3} = x_{n+2} - 2x_{n+1} + x_n\). Suppose \(x_1 = x_3 = 1\) and you're given that \(x_{98} = x_{99}\). Find the sum \(x_1 + x_2 + ....+ x_{100}\).  Discuss
\((1, 2, 3, \cdots , n)\) সংখ্যাগুলোর একটা বিন্যাস \((a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n)\)-কে বিন্যস্ত-প্রায় বলা হবে যদি ঠিক একটা \(i \in \{1, 2, 3, \cdots , n-1\}\) থাকে যার জন্য \(a_i > a_{i+1}\) হয়। \((1, 2, 3, \cdots , 13)\) সংখ্যাগুলোর কতগুলো বিন্যস্ত-প্রায় বিন্যাস আছে? A permutation \(\left(a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n\right)\) of the numbers \(\left(1, 2, 3, \cdots , n\right)\) is called almost-sorted if there exists exactly one \(i \in \{1, 2, 3, \cdots , n-1\}\) such that \(a_i > a_{i+1}\). What is the number of almost-sorted permutations of the numbers \(\left(1, 2, 3, \cdots , 13\right)\)?  Discuss
 \(f\) হলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট থেকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটে এমন একটা ফাংশন যেন যেকোনো পূর্ণসংখ্যা \(n\)-এর জন্য যদি \(x_1, x_2, \cdots , x_s\) সংখ্যাগুলো \(n\)-এর সবগুলো ধনাত্মক উৎপাদক হয়, তাহলে \(f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_s)=n\). \(f(343)+f(3012)\)-এর সম্ভাব্য সকল মানের যোগফল নির্ণয় করো। Let \(f\) be a function from the set of positive integers to the set of positive integers such that for each positive integer \(n\), if \(x_1, x_2, \cdots ,x_s\) are all the positive divisors of \(n\), then \(f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_s)=n\). Find the sum of all possible values of \(f(343)+f(3012)\).  Discuss
 \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\),
\(f(f(x+y))= f(x^2) + f(y^2)\),
\(f(f(2020)) = 1010\).
\(f(2025)\)-এর মান বের করো।
\(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\),
\(f(f(x+y))= f(x^2) + f(y^2)\),
\(f(f(2020)) = 1010\).
Find \(f(2025)\).
 Discuss
 ত্রিভুজ \(\triangle ABC\)-এ \(AB = 12, BC = 20, CA= 16\)। \(AB\) এবং \(AC\) বাহুর উপর দুইটি বিন্দু যথাক্রমে \(X\) ও \(Y\) । \(XY\) রেখাংশের উপর \(K\) এমন একটি বিন্দু যেন, \(XK/KY=7/5\) হয়। \(AB\) ও \(AC\)-এর উপর যদি \(X\) এবং \(Y\)-এর অবস্থানের পরিবর্তন করা হয়, তাহলে \(K\)-এর সঞ্চারপথ একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্র দখল করে। যদি এই ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফলকে লঘিষ্ঠ করে \(\frac{m}{n}\) আকারে লেখা যায়, তাহলে \(m+n\) এর মান কত? In \(\triangle ABC\), \(AB= 12, BC=20, CA=16\). \(X\) and \(Y\) are two points in segment \(AB\) and \(AC\) respectively. \(K\) is a point on segment \(XY\) , such that \(XK/KY=7/5\). If we let \(X\) and \(Y\) vary in segment \(AB\) and \(AC\) , all the positions of \(K\) covers a region. If we express the area of that region as \(\frac{m}{n}\) in lowest terms, compute \(m+n\).  Discuss
১০  রাহুল স্থানাংক তলে \((3, 3)\) বিন্দুতে আছে। সে একধাপে হয় তার বিন্দুর একঘর উপরের বিন্দুতে যেতে পারে অথবা একঘর ডানের বিন্দুতে যেতে পারে। তার মৌলিক সংখ্যা খুবই পছন্দ, তাই সে কখনো এমন কোনো বিন্দুতে যাবে না যার ভুজ আর কোটি উভয়ই যৌগিক। সে কতভাবে \((20, 13)\) বিন্দুতে পৌঁছাতে পারে? Rahul is at \((3, 3)\) on the coordinate plane. In each step, he can move one point up or one point to the right. He loves primes, and will never visit a coordinate point where both values are composite. In how many ways can he reach \((20, 13)\)?  Discuss
১১  উর্মি কম্পিউটারে একটা গেইম খেলছে। যদি কম্পিউটার স্ক্রিনে \(x\) সংখ্যাটা দেখা যায়, তাহলে পরের চালে সে দুটো কাজ করতে পারবে।

\(1\). সে হয় \(x\)-কে \(4x+1\) দিয়ে পাল্টে দিতে পারবে
\(2\). অথবা সে \(x\)-কে \(\frac{x}{2}\)-এর চেয়ে বড় না এমন সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা দিয়ে পাল্টে দিতে পারবে

স্ক্রিনে শুরুতে \(0\) সংখ্যাটা ছিল। শুন্য বা তার চেয়ে বেশি সংখ্যক চাল দিয়ে \(2020\)-এর চেয়ে বড় না এমন কতগুলো পূর্ণসংখ্যায় উর্মি পৌঁছাতে পারবে? কোনো একটা সংখ্যায় পৌঁছাতে গিয়ে যদি মাঝে \(2020\)-এর চেয়ে বড় কিছু এসে পড়ে, তাহলে অসুবিধা নেই।
 Urmi is playing a game on a computer. If the computer screen displays the number \(x\), then in the next move, Urmi can do one of the following:

\(1\). Replace \(x\) by \(4x + 1\)
\(2\). Replace \(x\) by the largest integer not greater than \(\frac{x}{2}\)

Initially, the computer screen displays \(0\). How many different integers less than or equal to \(2020\) can Urmi achieve through a sequence of moves? It is permitted for the number displayed on the screen to exceed \(2020\) during the sequence.
 Discuss
১২ জয়দীপ একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(n\)-কে চমকপ্রদ বলে যদি মৌলিক সংখ্যার যেকোনো অসীম সেট থেকেই \(n\)টা মৌলিক সংখ্যা \(p_1, p_2, \cdots , p_n\) পাওয়া যায় যেন \(p_1 p_2 \cdots p_n - 1\) সংখ্যাটা \(2020\) দ্বারা বিভাজ্য হয়। \(2020\)-এর চেয়ে ছোট সব চমকপ্রদ সংখ্যার যোগফল বের করো। Joydip calls a positive integer \(n\) amazing if given any infinite set of primes, he can find \(n\) primes \(p_1, p_2, \cdots , p_n\) from it such that \(p_1 p_2 \cdots p_n -1\) is divisible by \(2020\). Find the sum of all amazing numbers less than \(2020\).  Discuss