#বাংলাEnglishForum Link
এখন রমজান মাস, সাদ বের হয়েছে ইফতারি কিনতে। দোকানে গিয়ে দেখে, সে \(53\) টাকা দিয়ে \(3\) kg জিলাপি এবং \(4\) kg হালিম কিনতে পারে অথবা, \(37\) টাকা দিয়ে সে \(5\) kg জিলাপি এবং \(2\) kg হালিম কিনতে পারে। কিন্তু, সাদ হালিম খুবই পছন্দ করে এবং জিলাপি একদমই পছন্দ করে না। তাহলে, \(10\) kg হালিম আর \(1\) kg জিলাপি কিনতে সাদ-এর কত টাকা প্রয়োজন? এখন রমজান মাস, সাদ বের হয়েছে ইফতারি কিনতে। দোকানে গিয়ে দেখে, সে \(53\) টাকা দিয়ে \(3\) kg জিলাপি এবং \(4\) kg হালিম কিনতে পারে অথবা, \(37\) টাকা দিয়ে সে \(5\) kg জিলাপি এবং \(2\) kg হালিম কিনতে পারে। কিন্তু, সাদ হালিম খুবই পছন্দ করে এবং জিলাপি একদমই পছন্দ করে না। তাহলে, \(10\) kg হালিম আর \(1\) kg জিলাপি কিনতে সাদ-এর কত টাকা প্রয়োজন?  Discuss

ইপশিতা একটি \(3 \times 3\) গ্রিডে \(1\) থেকে \(9\) পর্যন্ত সংখ্যাগুলো এমনভাবে বসাবে যেন প্রত্যেক সারি, প্রত্যেক কলাম এবং প্রত্যেক কর্ণ বরাবর যে সংখ্যাগুলো রয়েছে তাদের যোগফল পরস্পর সমান হয়। সংখ্যাগুলো বসানোর পর দেখতে এরূপ হবে


\begin{array}{c c c}
2 & 9 & 4 \\
7 & 5 & 3 \\
6 & 1 & 8\\
\end{array}


এখন সে একই ভাবে 12 x 12 গ্রীডে 1 থেকে 144 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো বসাতে চাচ্ছে। তাহলে 12 x 12 গ্রীডের প্রত্যেক সারির সংখ্যাগুলোর যোগফল কত হবে?

Ipshita is trying to put the numbers from \(1\) to \(9\) in a \(3 \times 3\) grid, so the the sum of each row, column and diagonal is the same. She gets this:

\begin{array}{c c c}
2 & 9 & 4 \\
7 & 5 & 3 \\
6 & 1 & 8\\
\end{array}

She now wants to do the same with the numbers from \(1\) to \(144\) in a \(12 \times 12\) grid. What will she get as the sum of each row?

 Discuss
সৌমিত্র \(1\) থেকে \(4040\)-এর মধ্যে বিভিন্ন সংখ্যা নিচ্ছে। একটি সংখ্যা সে সর্বোচ্চ একবার নিতে পারবে! সৌমিত্র অন্তত কতগুলো সংখ্যা নিলে তুমি নিশ্চিত হতে পারবে, যে সেখানে চারটি সংখ্যা আছে যাদের যোগফল \(2020\) অপেক্ষা বেশি? Soumitra is picking numbers between \(1\) and \(4040\), so that no number is picked more than once. How many numbers will Soumitra have to pick (at least) before you can guarantee that there are four of them with sum greater than \(2020\)?  Discuss

নীল, লাল ও সবুজ তিন বন্ধু। তারা একটি রেস্তোরায় গিয়েছে। তাদের একজন নীল শার্ট, একজন লাল শার্ট এবং আরেকজন সবুজ শার্ট পরে আছে।

নীল বললো, "দেখ, আমরা সবাই আমাদের নাম থেকে ভিন্ন রঙের শার্ট পরেছি!"

লাল শার্ট পরা ছেলেটি বললো, "ঠিক বলেছ, নীল!"

সবার শার্টের রঙ বের করো। সবুজ \(= 1\), নীল \(= 2\) এবং লাল \(= 3\) ধরে নাও। তোমার উত্তর হবে \(100 \times\) (লালের শার্টের রঙ) \(+10 \times\) (নীলের শার্টের রঙ) \(+ 1 \times\) (সবুজের শার্টের রঙ)।

Mr. Blue, Mr. Green and Mr. Red go to a restaurant. One of them is wearing a blue shirt, one is wearing a red shirt and the other is wearing a green shirt.

Mr. Blue says "Hey, did you notice that we are wearing shirts of a different color from our names?"

The person wearing the red shirt says, "Wow Mr. Blue, you're right!"

You must figure out the color of everyone's shirts. Green \(= 1\), Blue \(= 2\) and Red \(= 3\). Your answer should be \(100 \times\) (the color of Mr. Red's shirt) \(+ 10 \times\) (the color of Mr. Blue's shirt) \(+ 1 \times\) (the color of Mr Green's shirt)}.

 Discuss
\(\triangle ABC\) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। \(AB, AC\) বাহুদ্বয় পরস্পর সমান। \(\angle BAC =40^\circ\)। ভূমি \(BC\)-কে \(D\) পর্যন্ত বাড়ানো হলে, \(\angle ACD\)-এর মান কত? \(\triangle ABC\) is an isosceles triangle. Its two sides \(AB\) and \(AC\) are equal to one another. Angle \(\angle BAC= 40^\circ\). The baseline \(BC\) is extended upto \(D\). How many degrees is the angle \(\angle ACD\)?  Discuss
\প্রমি সর্বনিম্ন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(n\) বের করতে চাচ্ছে, যাতে \(30\) দ্বারা \(n\) বিভাজ্য হয় এবং \(n\)-এর সকল অঙ্ক হয় \(0\) নতুবা \(5\)। প্রমি সর্বনিম্ন কোন সংখ্যাটি বের করবে? Promi is trying to find the smallest positive integer \(n\), such that \(n\) is a multiple of \(30\) and each digit of \(n\) is either \(0\) or \(5\). What is the smallest number Promi will come up with?  Discuss
রুবাব একজন অলস দোকানদার। এজন্য পয়সার হিসেব না করে সে দাম থেকে বাকি পয়সা বাদ দিয়ে দিবে। যেমন কারো যদি দাম আসে \(11\) টাকা \(30\) পয়সা, রুবাব সেটিকে \(11\) টাকা ধরে হিসেব করে। রুবাবের দোকানের পাচঁটি চকলেটের দাম রুবাবের হিসেবে \(13\) Tk এবং ছয়টি চকলেটের দাম রুবাবের হিসেবে \(16\) Tk. যদি প্রত্যেক চকলেটের দাম সমান এবং পয়সায় প্রকাশ করলে দামটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে একটি চকলেটের ভিন্ন ভিন্ন কতটি দাম হতে পারে? Shopkeeper Rubab is lazy, so he doesn't track Paisa and rounds prices down to the nearest Taka. (If the total price of an order is \(11\) taka \(30\) paisa, Rubab calculates it as \(11\) taka. ) The cost of five chocolates in Rubab's shop(according to his calculation) is \(13\) Tk. and the cost of six chocolates is \(16\) Tk. All chocolates have the same cost, which is an integer number of paisa. How many different prices can one chocolate possibly have?  Discuss
শাকুর আর তিহাম কয়েন নিয়ে একটা খেলা খেলছে। একটা টেবিলে \(N\)-টা কয়েন আছে যেখানে \(N\) একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তারা পালাক্রমে টেবিল থেকে দুইয়ের পূর্ণসাংখ্যিক পাওয়ার (যেমন \(1, 2, 4, 8, 16, 32, \cdots\)) সংখ্যক কয়েন টেবিল থেকে সরিয়ে ফেলে। যে টেবিল থেকে শেষ কয়েনটা সরিয়ে ফেলতে পারবে, সে জিতে যাবে। যদি শাকুর প্রথম চাল দেয় এবং \(N < 1000\) হয়, তাহলে \(N\)-এর কয়টা মানের জন্য শাকুরের জেতার স্ট্র্যাটেজি আছে (যদি তিহাম নিখুঁতভাবে খেলে)? Shakur and Tiham play a game with coins. There are \(N\) coins on a table where \(N\) is a positive integer. The players take turns removing a number of coins that is an integer power of \(2\) (such as \(1, 2, 4, 8, 16, 32, \cdots\)). The person who removes the last coin from the table wins. If Shakur goes first and \(N\) is a positive integer less than \(1000\), for how many values of \(N\) does Shakur have a winning strategy (even if Tiham plays perfectly)?  Discuss
বৃষ্টি বোর্ডে \(1, 2, 3, \cdots , 9\) সংখ্যাগুলা ক্রম অনুসারে লিখেছে। প্রতি চালে সে যেকোন তিনটি পাশাপাশি উপাদান নিয়ে এদের ক্রম উল্টে দিতে পারে। যেমন \((1, 2, 3, 4, \cdots)\) থেকে \((3, 2, 1, 4, \cdots)\) বানানো যেতে পারে। এরকম এক বা একাধিক চালে বৃষ্টি কতগুলি ভিন্ন বিন্যাস তৈরি করতে পারবে? Bristy writes the numbers \(1, 2, 3, \cdots , 9\) on a board in that order. In a move she can pick any \(3\) adjacent numbers and reverse their order. For example, \((1, 2, 3, 4, \cdots )\) can become \((3, 2, 1, 4, \cdots)\). How many distinct sequences can she make using one or more such moves?  Discuss
১০

যদি \(n\) একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে \(\frac{n}{n+675}\)-কে কাটাকাটি করে লঘিষ্ঠ আকারে লিখলে \(\frac{p}{q}\) হয়। \((q-p)\) এর সম্ভাব্য সকল ভিন্ন ভিন্ন মানের যোগফল কত?

একটি ভগ্নাংশকে কাটাকাটি করলে আমরা ভগ্নাংশের হর এবং লবকে তাদের গ. সা. গু. দিয়ে ভাগ করে দিই। কাটাকাটির পরে লব এবং হরের একমাত্র সাধারণ গুণনীয়ক \(1\) হবে।

If \(n\) is a positive integer, then \(\frac{p}{q}\) is the fraction \(\frac{n}{n+675}\) in its lowest terms. What is the sum of all different possible values of \((q-p)\)?

Here 'lowest terms' means the common factors have been cancelled out, so that the gcd of the numerator and denominator is \(1\).

 Discuss
১১ একটি কাগজে \(2020\)টি বিন্দু রয়েছে, যার মধ্যে এমন কোনো তিনটি বিন্দু নেই যারা একই রেখায় অবস্থান করে। জাওয়াদ চায় রেখাংশ দিয়ে এদের মধ্যে সর্বোচ্চ সংখ্যক বিন্দুকে যোগ করতে। কিন্তু সে চায় না যাতে কোনো তিনটি বিন্দু একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু আকারে প্রকাশিত হয়। জাওয়াদ সর্বোচ্চ কতগুলো রেখা আঁকতে পারবে? There are \(2020\) points on a piece of paper, no three of which are on the same line. Zawad wants to join as many of them as possible with line segments. But he does not want three points to become vertices of a triangle! What is the maximum number of lines Zawad can draw?  Discuss
১২ একটি এনালগ ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটা একই সাইজের। যা দেখে তুমি দুই কাঁটা আলাদা করতে পারবে না। কাঁটা গুলো অনবরত ঘুরতে থাকে। দুপুর এবং মধ্যরাতের মধ্যে কতগুলো সময় আছে যখন তুমি ঘড়ির তথ্য দিয়ে সঠিক সময় যাচাই করতে পারবে না? The hour and minute hands on an analog clock are the same size, and so you can't tell them apart! The hands move continuously. How many times between noon and midnight is the information on the clock not enough to tell the time?  Discuss