#বাংলাEnglishForum Link
\(m\) আর \(n\) হচ্ছে এমন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যাতে \(1 + 2^m = n^2\) হয়। \(10m+n\)-এর সকল সম্ভাব্য মান এর যোগফল বের করো। \(m\) and \(n\) are positive integers such that \(1 + 2^m = n^2\). Find the sum of all possible values of \(10m+n\).  Discuss
\(ABCD\) একটি আয়তক্ষেত্র। \(AD\) বাহুর মধ্যবিন্দু \(E\) এবং \(ED\)-এর মধ্যবিন্দু \(F\)। \(AB\) বাহুকে \(CE\) রেখা \(G\) বিন্দুতে এবং \(CD\) বাহুকে \(BF\) রেখা \(H\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(\triangle BCG\) এবং \(\triangle BCH\)-এর ক্ষেত্রফলের অনুপাতকে যদি লঘিষ্ঠ আকারে \(\frac{m}{n}\) হিসেবে লেখা যায়, তবে \(10m+10n+mn\)-এর মান বের কর। Consider rectangle \(ABCD\). Let \(E\) be the midpoint of side \(AD\) and let \(F\) be the midpoint of \(ED\). Let \(G\) be the intersection of \(CE\) with the line \(AB\) and let \(H\) be the intersection of \(BF\) with line \(CD\). The ratio of areas of the \(\triangle BCG\) and \(\triangle BCH\) can be expressed as \(\frac{m}{n}\) in lowest terms. Compute \(10m+10n+mn\).  Discuss

পায়েলের কাছে দুইটি \(20\) তল বিশিষ্ট ছক্কা আছে। সে ছক্কা দুইটি চালে এবং চালের যোগফল নেয়। কোন সংখ্যাটি আসার সম্ভাবনা সব থেকে বেশি?

(একটি \(20\) তল বিশিষ্ট ছক্কা হচ্ছে একটি পলিহেড্রন বা বহুতলক (ত্রিমাত্রিক বস্তু) যার \(20\) টি তল রয়েছে যেখানে তলগুলোতে \(1\) থেকে \(20\) পর্যন্ত সংখ্যা লেখা রয়েছে। প্রতি চালে প্রতিটি সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা সমান)

Payel has two \(20\) sided dice. He rolls them and takes their sum. What number has the highest probability of happening?

(A \(20\) sided die is a polyhedron (a \(3\)d object) with \(20\) faces, with the numbers from \(1\) to \(20\) on them. Each number has an equal probability of coming up on a roll of the die.)

 Discuss

একটি সুডোকু টুর্নামেন্টে এ র‍্যাংকিং এর শীর্ষে থাকা \(10\) জন প্লে-অফ ম্যাচ খেলে। র‍্যাংকিংয়ের #\(10\)-এ থাকা অংশগ্রহণকারী #\(9\)-কে চ্যালেঞ্জ করে এবং যে হারে সে \(10\)th প্রাইজ পায়, আর যে জিতে সে র‍্যাংকিংয়ের #\(8\)-কে চ্যালেঞ্জ করে। এদের মধ্যে যে জিতে সে আবার #\(7\)-কে চ্যালেঞ্জ করে এবং যে হারে, সে \(9\)th প্রাইজ পায়। এভাবে সবশেষে কেউ #\(1\) কে চ্যালেঞ্জ করে, আর সে খেলায় যে জিতে, সে \(1\)st প্রাইজ পায়। এই সুডোকু প্লে-অফে অংশগ্রহণকারীরা মোট কতভাবে প্রাইজ পেতে পারে?

In a sudoku-tournament, the winner will be selected from play-offs among the top \(10\) ranked participants. The participants at #\(10\) and #\(9\) of the ranking will challenge each other, the loser will receive \(10\)th prize and the winner will challenge #\(8\). The winner of the first challenge and #\(8\), will challenge #\(7\) and the loser will receive \(9\)th prize. The ultimate winner will be the one who receives the \(1\)st prize. In how many ways these \(10\) participants may receive the prizes?

 Discuss

কোনো একটা ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য \([x]\) হলো তার পূর্ণসাংখ্যিক অংশ। যেমন \([3.14]=3, [5]=5, [6.9]=6\)।

\(z\) হলো সবচেয়ে বড় বাস্তব সংখ্যা যার জন্য \(\left[\frac{3}{z}\right]+\left[\frac{4}{z}\right]=5\) হয়। \(21z\)-এর মান কত?

For a positive real number \(x\), let \([x]\) be its integer part. For example, \([3.14]=3\), \([5]=5\), \([6.9]=6\).

Let \(z\) be the largest real number such that \(\left[\frac{3}{z}\right]+\left[\frac{4}{z}\right]=5\). What is the value of \(21z\)?

 Discuss
Point \(P\) lies inside square \(ABCD\) such that \(AP+CP = 27, BP-DP = 17\) and \(\angle DAP = \angle DCP\). Compute the area of the square \(ABCD\). \(ABCD\) বর্গের ভেতরে একটি বিন্দু \(P\) এমনভাবে নেওয়া হলো যেন \(AP+CP = 27, BP-DP = 17\) এবং \(\angle DAP = \angle DCP\) হয়। \(ABCD\) বর্গের ক্ষেত্রফল কত হবে?  Discuss

তিহাম ছয় অঙ্কের একটি ধনাত্নক পূর্ণসংখ্যা \(PQRSTU\) বের করতে চাচ্ছে যেখনে (\(P, Q, R, S, T, U\) অঙ্ক ছয়টি অভিন্নও হতে পারে) যেখানে তিন অঙ্কের সংখ্যা \(PQR\) এবং অপর তিন অঙ্কের সংখ্যা \(STU\)-এর যোগফল \(37\) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। এরূপ কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা তিহাম বের করতে পারবে?

(মনে রেখো, একটি ছয় অঙ্কের সংখ্যার প্রথম অঙ্ক \(0\) হতে পারে না!)

Tiham is trying to find \(6\) digit positive integers \(PQRSTU\) (where \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\), \(T\), \(U\) are not necessarily distinct). But he only wants the numbers where the sum of the \(3\) digit number \(PQR\), and the \(3\) digit number \(STU\) is divisible by \(37\). How many such numbers can he find?

(Remember, a six-digit number can't have zero as the first digit!)

 Discuss
\(ABC\) ত্রিভুজে \(\angle B = 50^\circ\) এবং \(\angle C = 60^\circ\)। \(D, BC\)-এর মধ্যবিন্দু। ত্রিভুজ \(ABC\)-এর পরিবৃত্ত হল এমন একটি বৃত্ত যা ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়। \(ACD\) এবং \(ABD\)-এর পরিবৃত্ত \(AB\) এবং \(AC\)-কে যথাক্রমে \(F\) এবং \(E\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(AEF\)-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র \(O\)। \(\angle FDO=\)? Let \(ABC\) be a triangle where \(\angle B = 50^\circ\) and \(\angle C = 60^\circ\). \(D\) is the midpoint of \(BC\). The circumcircle of a triangle \(ABC\) is defined to be the circle going through the three vertices. The circumcircles of \(ACD\) and \(ABD\) intersects \(AB\) and \(AC\) at \(F\) and \(E\) respectively. The circumcentre of \(\triangle AEF\) is \(O\). \(\angle FDO=\)?  Discuss
তোমার সামনে কয়েনের \(2020\)টা পাইল আছে। প্রথম পাইলে আছে \(1\)টা কয়েন, দ্বিতীয় পাইলে আছে \(2\)টা কয়েন, তৃতীয় পাইলে আছে \(3\)টা কয়েন। এভাবে \(2020\)তম পাইলে আছে \(2020\)টা কয়েন। এক চালে তুমি একটা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(k\) বাছাই করো এবং যেসব পাইলে কমপক্ষে \(k\)টা কয়েন আছে, সেসব পাইলের প্রত্যেকটা থেকে ঠিক \(k\) সংখ্যক কয়েন সরিয়ে নাও। সবগুলো কয়েন সরিয়ে ফেলতে তোমার সর্বনিম্ন কয়টা চাল লাগবে? You have \(2020\) piles of coins in front of you. The first pile contains \(1\) coin, the second pile contains \(2\) coins, the third pile contains \(3\) coins, and so on. So, the \(2020\)th pile contains \(2020\) coins. A move consists of selected a positive integer \(k\) and removing exactly \(k\) coins from every pile that contains at least \(k\) coins. What is the minimum number of moves required to remove all the coins?  Discuss
১০ সকাল দা সবচেয়ে বড় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা \(n\) বের করার চেষ্টা করছে, যেন \(n\)-কে base-\(7\)-এ নিয়ে গেলে তা দেখতে base-\(10\)-এ \(2n\)-এর মতো হয়। তিনি দেখলেন যে, এমন একটি সংখ্যা হলো \(156\), কারণ \(156\)-এর base-\(7\) হলো \(312\)। সকালদার বের করা সংখ্যাটি কত?
(একটা সংখ্যাকে base-\(10\)-এ লেখার মানে হচ্ছে সেটাকে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে লেখা। দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে, \(234 = 200 + 30 + 4 = 2\times 10^2 + 3\times 10 + 4\times 1\)। আবার যদি \(234\) base-\(7\)-এর একটা সংখ্যা হয়, তাহলে সেটাকে base-\(10\)-এ আনার জন্য আমাদের শুধু \(10\)-কে \(7\) দিয়ে পরিবর্তন করে দিলেই হবে। যেমন, base-\(7\)-এর \(234 = 2\times 7^2 + 3\times 7 + 4\times 1 =\) base-\(10\)-এ \(123\)।)

Sakal da is trying to find the largest positive integer \(n\), such that the base-\(7\) representation of \(n\) looks like a base-10 number which is exactly \(2n\). He noticed, one such number is \(156\), because \(156\) in base-\(7\) is \(312\). What is the number he came up with?

(Writing a number in base-\(10\) means writing it in the decimal system. So, \(234 = 200 + 30 + 4 = 2\times 10^2 + 3\times 10 + 3\times 1\). If we go to base-\(7\), we just change \(10\) to \(7\). So \(234\) in base-\(7\) would be \(2\times 7^2 + 3\times 7 + 4\times 1 = 123\) in base-\(10\).)

 Discuss
১১ \(n\)-এর সকল সম্ভাব্য মানের যোগফল বের করো যাতে \(n\), \(n^2+10\), \(n^2-2\), \(n^2-8\), \(n^3+6\)-এর সবগুলো মৌলিক সংখ্যা হয়। (হিন্ট: এরকম অন্তত একটি \(n\) রয়েছে)। Find the sum of all possible \(n\) such that \(n\), \(n^2+10\), \(n^2-2\), \(n^2-8,\) \(n^3+6\) are all prime numbers. (Hint: there is at least one such \(n\).)  Discuss
১২ মুরসালিন দেখল যে \(2^{2020}\) হলো একটি \(609\) অংকের সংখ্যা, যার প্রথম অংকটি হল \(1\). এবার, সে \(\{2^0, 2^1, 2^2, \cdots , 2^{2019}\}\) সেটের সবচেয়ে বড় সাবসেট বানাতে চায় যার প্রতিটি উপাদানের প্রথম অংক হচ্ছে \(4\)। মুরসালিনের বানানো সেটের কতগুলো উপাদান থাকবে? Mursalin knows that \(2^{2020}\) has \(609\) digits, and it starts with a \(1\). Given this, Mursalin wants to find the largest subset of the set \(\{2^0, 2^1, 2^2, \cdots , 2^{2019}\}\) where all the elements start with a \(4\). How many elements will there be in Mursalin's set?  Discuss