#বাংলাEnglishForum Link
লাজিম দুটো \(24\) তল বিশিষ্ট ছক্কা চালে। সে দুটো চালের মধ্যে যেই সংখ্যাটা বড়, সেটা নেয়। \(N\) একটা পূর্ণসংখ্যা যা \(24\)-এর চেয়ে বড় নয়। \(N\)-এর মান সর্বোচ্চ কত হতে পারে যেন বলা যাবে যে লাজিমের নেওয়া সংখ্যাটা কমপক্ষে \(N\) হওয়ার সম্ভাবনা \(>50\%\)? Lazim rolls two \(24\)-sided dice. From the two rolls, Lazim selects the die with the highest number. \(N\) is an integer not greater than \(24\). What is the largest possible value for \(N\) such that there is a more than \(50\%\) chance that the die Lazim selects is larger than or equal to \(N\)?  Discuss
কতগুলো পূর্ণসংখ্যা \(n\) আছে যেন \(1\leq n\leq 2020\) এবং \(n^n\) একটা পূর্ণবর্গ সংখ্যা? How many integers \(n\) are there subject to the constraint that \(1\leq n\leq 2020\) and \(n^n\) is a perfect square?  Discuss
\(R\) হলো এমন সব আয়তের সেট যাদের কেন্দ্র মূলবিন্দুতে এবং পরিসীমা \(1\) (একটা আয়তের কেন্দ্র হলো তার কর্ণদুটোর ছেদবিন্দু)। \(S\) হলো এমন একটা ক্ষেত্র যার ভিতরে \(R\)-এর সবগুলো আয়তই আছে। \(S\)-এর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য ক্ষেত্রফলকে \(\pi a\) আকারে লেখা যায় যেখানে \(a\) একটা বাস্তব সংখ্যা। \(\frac{1}{a}\)-এর মান বের করো। Let \(R\) be the set of all rectangles centered at the origin and with perimeter \(1\) (the center of a rectangle is the intersection point of its two diagonals). Let \(S\) be a region that contains all of the rectangles in \(R\) (a region \(A\) contains another region \(B\) if \(B\) is completely inside of \(A\)). The minimum possible area of \(S\) has the form \(\pi a\), where \(a\) is a real number. Find \(\frac{1}{a}\).  Discuss
একটা তলে \(56\)টা সরলরেখা এমনভাবে আছে যেন কোনো তিনটাই সমবিন্দু না হয়। যদি সরলরেখাগুলোর মধ্যে ছেদবিন্দুর সংখ্যা ঠিক \(594\) হয়, তাহলে এদের মধ্যে সর্বোচ্চ কতগুলো সরলরেখার ঢাল সমান হতে পারে? \(56\) lines are drawn on a plane such that no three of them are concurrent. If the lines intersect at exactly \(594\) points, what is the maximum number of them that could have the same slope?  Discuss
ত্রিভুজ \(ABC\)-এ \(AB=52, BC=34\) আর \(CA=50\)। আমরা \(BC\) বাহুর মাঝে \(n-1\) সংখ্যক বিন্দু এমন ভাবে নিই যাতে \(BC\) রেখাংশ \(n\)টা সমান ভাগে বিভক্ত হয়। এই বিন্দুগুলোর মধ্যে যদি \(A\) থেকে \(BC\)-এর ওপর আঁকা লম্বের পাদবিন্দু, \(A\) থেকে \(BC\)-এর ওপর আঁকা মধ্যমার পাদবিন্দু আর \(A\) কোণের সমদ্বিখণ্ডকের পাদবিন্দু থাকে, তাহলে \(n\)-এর সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মান কত? In \(\triangle ABC\), \(AB = 52, BC = 34\) and \(CA = 50.\) We split \(BC\) into \(n\) equal segments by placing \(n-1\) new points. Among these points are the feet of the altitude, median and angle bisector from \(A\). What is the smallest possible value of \(n\)?  Discuss
\(f\) একটা এক-এক ফাংশন যার ডোমেইন আর কোডোমেইন উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট এবং \(f(xy)=f(x)f(y)\)। \(f(2020)\)-এর সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মান বের করো। \(f\) is a one-to-one function from the set of positive integers to itself such that \(f(xy) = f(x)f(y)\). Find the minimum possible value of \(f(2020)\).  Discuss

\(f\) হলো জটিল সংখ্যার সেটের ওপরে একটা ফাংশন যেন \(f(z)=\frac{1}{z^*}\) হয়, যেখানে \(z^*\) হলো \(z\)-এর জটিল অনুবন্ধী। \(S\) হলো ওইসব জটিল সংখার সেট যেন \(f(z)\)-এর বাস্তব অংশ \(\frac{1}{2020}\) আর \(\frac{1}{2020}\)-এর মধ্যে থাকে। যদি আমরা \(S\)-কে জটিল তলের একটা উপসেট হিসেবে বিবেচনা করি, তাহলে \(S\)-এর ক্ষেত্রফলকে \(m\pi\) আকারে লেখা যাবে যেখানে \(m\) একটা পূর্ণসংখ্যা। \(m\)-এর মান কত? (নোট: জটিল তল হলো কার্তেসীয় তলের মতোই যেখানে \(x\)-অক্ষকে বাস্তব অক্ষ আর \(y\)-অক্ষকে কাল্পনিক অক্ষ বলা হয়।)

মনে রেখো, একটা জটিল সংখ্যা হলো \(a+bi\) আকারের একটা সংখ্যা যেখানে \(a\) আর \(b\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(i\) হলো এমন একটা সংখ্যা যেন \(i^2=-1\) হয়। যদি \(z=a+bi\) হয়, তাহলে \(z\)-এর জটিল অনুবন্ধী হলো \(z^*=a-bi\)।

\(f\) is a function on the set of complex numbers such that \(f(z)=\frac{1}{z^*}\), where \(z^*\) is the complex conjugate of \(z\). \(S\) is the set of complex numbers \(z\) such that the real part of \(f(z)\) lies between \(\frac{1}{2020}\) and \(\frac{1}{2018}\). If \(S\) is treated as a subset of the complex plane, the area of \(S\) can be expressed as \(m\pi\) where \(m\) is an integer. What is \(m\)? (Note: the complex plane is just like the Cartesian plane, where the \(x\)-axis is renamed as the real-axis and the \(y\)-axis is renamed as the imaginary axis.)

Remember, a complex number is a number of the form \(a+bi\), where \(a\) and \(b\) are real numbers and \(i\) is a number such that \(i^2=-1\). If \(z=a+bi\), the complex conjugate of \(z\) is \(z^*=a-bi\).

 Discuss
\(1, 2, 3, \cdots , n\)-এর একটা বিন্যাসকে কাওয়ায়ি বলা হবে যদি সেই বিন্যাসে কেবল একটা সংখ্যাই থাকে যেটা সে যে অবস্থানে আছে, তার চেয়ে বড়। যেমন: \(1, 4, 3, 2\) একটা কাওয়ায়ি বিন্যাস কারণ এতে \(4\)-ই একমাত্র সংখ্যা যেটা সে যে অবস্থানে আছে (অবস্থান \(2\)), তার চেয়ে বড়। যদি \(n=14\) হয়, তাহলে কতগুলো কাওয়ায়ি বিন্যাস আছে? We call a permutation of the numbers \(1, 2, 3, \cdots , n\) kawaii if there is exactly one number that is greater than its position. For example: \(1, 4, 3, 2\) is a kawaii permutation (when \(n=4\)) because only the number \(4\) is greater than its position \(2\). How many kawaii permutations are there if \(n=14\)?  Discuss
\(ABCD\) একটি উত্তল চতুর্ভুজ। \(AC\) এবং \(BD\)-এর ছেদবিন্দু \(O\)। \(AO=3,BO=4,CO=5,DO=6\)। \(X\) এবং \(Y\) যথাক্রমে \(AB\) ও \(CD\) বাহুর উপর অবস্থিত দুইটি বিন্দু যাতে \(X, O, Y\) বিন্দু তিনটি সমরেখ হয়। \(XB/XA+YC/YD\)-এর সর্বনিম্ন মানকে \(\frac{a}{b}\sqrt{c}\) আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে \(a\), \(b\) পরস্পর সহমৌলিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং \(c\), \(1\)-এর চেয়ে বড় কোনো বর্গ সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়। \(10a+b+c\)-এর মান কত? Let \(ABCD\) be a convex quadrilateral. \(O\) is the intersection of \(AC\) and \(BD\). \(AO=3, BO=4, CO=5, DO=6\). \(X\) and \(Y\) are points in segment \(AB\) and \(CD\) respectively such that \(X, O, Y\) are collinear. The minimun of \(XB/XA+YC/YD\) can be written as \(\frac{a}{b}\sqrt{c}\) , where \(\frac{a}{b}\) is in lowest terms and \(c\) is not divisible by any square number greater than \(1\). What is the value of \(10a+b+c\)?  Discuss
১০ বৃষ্টি একটা বিশেষ সেট \(A\) বানাতে চায়। সে \(A=\{0, 42\}\) দিয়ে শুরু করে। যেকোনো ধাপে সে একটা পূর্ণসংখ্যা \(x\)-কে \(A\)-তে ঢুকাতে পারবে যদি \(x\), \(A\)-তে ইতোমধ্যে থাকা সংখ্যাগুলোকে সহগ হিসেবে ব্যবহার করে বানানো কোনো বহুপদীর মূল হয়। এভাবে সে \(A\)-এ নতুন নতুন পূর্ণসংখ্যা ঢুকাতেই থাকে। যখন সে \(A\)-এ আর ঢুকানোর মতো নতুন সংখ্যা খুঁজে পাবে না, তখন \(A\)-তে কয়টা সংখ্যা থাকবে? Bristy wants to build a special set \(A\). She starts with \(A=\{0, 42\}\). At any step, she can add an integer \(x\) to the set \(A\) if it is a root of a polynomial that uses the already existing integers in \(A\) as coefficients. She keeps doing this, adding more and more numbers to \(A\). After she eventually runs out of numbers to add to \(A\), how many numbers will be in \(A\)?  Discuss
১১ \(ABCD\) একটি উত্তল চতুর্ভুজ যেখানে \(BC = CD, AC = AD, \angle BCD = 96^\circ\) এবং \(\angle ACD = 69^\circ\)। ধরো \(P_0 = A\) এবং \(Q_0 = B\)। আমরা আরোহ পদ্ধতিতে নতুন কিছু বিন্দু সংজ্ঞায়িত করব। \(CDP_n\)-এর অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্রকে বলা হবে \(P_{n+1}\) এবং \(CDQ_n\)-এর অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্রকে বলা হবে \(Q_{n+1}\)। যদি \(\angle Q_{2024}Q_{2025}P_{2025} - 90^\circ = \frac{2k-1}{2^n}\) হয়, তাহলে \(k+n\)-এর মান বের কর। \(ABCD\) is a convex quadrilateral where \(BC = CD, AC = AD, \angle BCD = 96^\circ\) and \(\angle ACD = 69^\circ\). Set \(P_0 = A, Q_0 = B\) respectively. We inductively define \(P_{n+1}\) to be the center of the incircle of \(CDP_n\), and \(Q_{n+1}\) to be the center of the incircle of \(CDQ_n.\) If \(\angle Q_{2024}Q_{2025}P_{2025} - 90^\circ = \frac{2k-1}{2^n}\), compute \(k+n\).  Discuss
১২

মুগ্ধ আর স্নিগ্ধ পরস্পরের সাথে একটা খেলা খেলছে। মুগ্ধর কাছে একটা লাল কম্পিউটার আছে। যদি সেই কম্পিউটার স্ক্রিনে \(x\) সংখ্যাটা দেখা যায়, তাহলে মুগ্ধ হয়:

\(1\). \(x\)-এর সাথে \(1\) যোগ করতে পারে, অথবা
\(2\). \(x\)-কে \(2\) দিয়ে গুণ করে দিতে পারে।

স্নিগ্ধর কাছেও একটা কম্পিউটার আছে কিন্তু সেটা নীল। সেই কম্পিউটারের স্ক্রিনে যদি \(y\) সংখ্যাটা দেখা যায়, তাহলে স্নিগ্ধ হয়:

\(1\). \(y\)-এর সাথে \(1\) যোগ করতে পারে, অথবা
\(2\). \(y\)-কে \(4\) দিয়ে গুণ করে দিতে পারে।

তাদের উভয়ের কম্পিউটার স্ক্রিনেই শুরুতে \(0\) সংখ্যাটা থাকে। কোনো একটা পূর্ণসংখ্যা \(n\)-এর জন্য, মুগ্ধ আর স্নিগ্ধ উভয়েই তাদের নিজের নিজের কম্পিউটারে \(0\) থেকে শুরু করে সর্বনিম্ন সংখ্যক মুভ ব্যবহার করে \(n\)-এ পৌঁছাতে চায়। কিন্তু কিছু কিছু পূর্ণসংখ্যা অপরাজেয় - যেগুলোতে মুগ্ধ আর স্নিগ্ধ সমান সংখ্যক মুভ ব্যবহার করে পৌঁছাবে। \(256\) থেকে \(1024\)-এর মধ্যে কতগুলো অপরাজেয় সংখ্যা আছে?

Mugdho and Snigdho are playing a game against each other.

Mugdho has a red computer. If the computer screen displays the number \(x\), Mugdho can make a move and choose to:
\(1\). Add \(1\) to \(x\).
\(2\). Multiply \(x\) by \(2\).

Snigdho has a blue computer. If his screen displays the number \(y\), Snigdho's moves are:
\(1\). Add \(1\) to \(y\).
\(2\). Multiply \(y\) by \(4\).

They both start with a \(0\) on their screen. Given an integer \(n\), Mugdho and Snigdho are trying to reach \(n\) from \(0\) on their computer in the minimum number of moves. But some integers are unbeatable - Mugdho and Snigdho will reach them in the same number of moves! Find the number of unbeatable integers between \(256\) and \(1024\) (inclusive).

 Discuss