একটি বহুভুজকে 'সুন্দর বহুভুজ' বলা যাবে, যদি তার তিনটি শীর্ষ বেছে নেওয়া যায় যেন তাদের মাঝে \(144^\circ\) কোণ তৈরী হয়। \(n\) বাহু বিশিষ্ট এমন কতগুলো সুষম বহুভুজ আছে যাদেরকে সুন্দর বহুভুজ বলা যাবে যেখানে \(8<n\leq 2024\)?
| # | বাংলা | English | Forum Link |
|---|---|---|---|
| ১ | \(m\) এমন একটি বাস্তব সংখ্যা যা \(3^m=4m\) সমীকরণ সিদ্ধ করে। \(\frac{3^{3^m}}{m^4}\) -এর সম্ভাব্য সকল মানের যোগফল বের করো। | Let \(m\) be a real number such that the following equation holds: \(3^m=4m\). Compute the sum of all possible distinct values that \(\frac{3^{3^m}}{m^4}\) can take. | Discuss |
| ২ | একটি বহুভুজকে 'সুন্দর বহুভুজ' বলা যাবে, যদি তার তিনটি শীর্ষ বেছে নেওয়া যায় যেন তাদের মাঝে \(144^\circ\) কোণ তৈরী হয়। \(n\) বাহু বিশিষ্ট এমন কতগুলো সুষম বহুভুজ আছে যাদেরকে সুন্দর বহুভুজ বলা যাবে যেখানে \(8<n\leq 2024\)? | A polygon is called beautiful if you can pick three of its vertices to have an angle of \(144^\circ\). Compute the number of integers \(8<n\leq 2024\) for which a regular \(n\)-gon is beautiful. | Discuss |
| ৩ | একটা পার্টিতে \(11\) জন আছে। এদের মধ্যে কেউ কেউ পরস্পরের সাথে হ্যান্ডশেক করে। এই পার্টিতে যেকোনো তিনজনের মধ্যে এমন একজন আছে যে ওই তিনজনের বাকি দুইজনের সাথে হ্যান্ডশেক করে। ওই পার্টিতে সর্বনিম্ন কতগুলো হ্যান্ডশেক হতে পারে? | In a party of \(11\) people, certain pairs of people shake hands with each other. In every group of three people, there exists one person who shakes hands with the other two. What is the minimum number of handshakes that can take place at this party? | Discuss |
| ৪ | \(ABCD\) একটি বর্গক্ষেত্র। \(P\) এবং \(Q\) যথাক্রমে \(BC\) এবং \(CD\) রেখাংশের উপর দুইটি বিন্দু যাতে করে \(\angle APQ = 90^\circ\) হয়। দেওয়া আছে যে, \(AP = 4\) এবং \(PQ= 1\)। যদি \(AB\)-এর দৈর্ঘ্যকে লঘিষ্ঠ আকারে \(\frac{m}{n}\) হিসেবে লেখা যায়, তবে \(m+10n\)-এর মান বের কর। | \(ABCD\) is a square. \(P\) and \(Q\) are two points in segment \(BC\) and \(CD\) respectively such that \(\angle APQ = 90^\circ\). It is given that \(AP = 4\) and \(PQ = 1\). If we express the length of segment \(AB\) as \(\frac{m}{n}\) in lowest term, compute \(m+10n\). | Discuss |
| ৫ | এমন কতগুলো বাস্তব সংখ্যা \(x_1, x_2, \cdots\) আছে যেখানে \(n>0\) এর জন্য, \(x_{n+3} = x_{n+2} - 2x_{n+1} + x_n\) হয় । ধরো, \(x_1 = x_3 = 1\) এবং বলা হয়েছে \(x_{98} = x_{99}\) । উপরের শর্ত অনুযায়ী, \(x_1 + x_2 + ... + x_{100} =\) ? | Let \(x_1, x_2, \cdots\) be real numbers so that for all \(n > 0\), \(x_{n+3} = x_{n+2} - 2x_{n+1} + x_n\). Suppose \(x_1 = x_3 = 1\) and you're given that \(x_{98} = x_{99}\). Find the sum \(x_1 + x_2 + ....+ x_{100}\). | Discuss |